Partiel Séries-Intégrations | Convergence - Développement limité

Thèmes :

Exercice 1: Intégrales impropres
Exercice 2: Séries
Exercice 3: Séries / Convergence / Dérivabilité
Exercice 4: Suites / Séries / Développement limité / Intégrales

Extrait :

Partiel Séries-Intégrations | Convergence – Développement limité

Exercise 1. Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes
$\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { sinx }{ { x }^{ 2 } } }$ dx; $\int _{ 1 }^{ +\infty }{ \frac { arctan }{ { x }^{ 3 } } }$ dx

Exercice 2. Etudier les séries suivantes :
$\underset { n\ge 1 }{ \sum { (1-\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } } { ) }^{ \sqrt [ n ]{ n } } }$ ;
$\underset { n\ge 2 }{ \sum { \frac { (3n-2)!{ 4 }^{ 2n }{ 5 }^{ 3n } }{ (2n-1)!n!{ 3 }^{ 4n } } } }$ ;
$\underset { n\ge 2 }{ \sum { { \left( \frac { n+3 }{ 2n+1 } \right) }^{ n!nn } } }$ ;
$\underset { n\ge 3 }{ \sum { { cos }^{ { n }^{ 2 } } } \frac { a }{ \sqrt { n } } } ,a\ge 0$

Exercice 3. On souhaite étudier la série de terme général
${ u }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }\frac { { n }^{ \alpha }sin\frac { 1 }{ { n }^{ \alpha } } }{ { n }^{ \beta }+(-1{ ) }^{ n } }$
avec $\alpha ,\beta >0$
1. A quelle condition la série $\sum { { u }_{ n } }$ converge t-elle absolument?
2. On pose ${ u }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }{ n }^{ \alpha -S }sin\frac { 1 }{ { n }^{ \alpha } }$
3. On considère la fonction f:[1,+8[–>R définie par $f(x)={ x }^{ \alpha -\beta }sin\frac { 1 }{ { x }^{ \alpha } }$ .Calculer ${ f }^{ ' }(x)$ .E n déduire
qu‘il existe A ? [1, +8[ tel que f soit décroissante sur [A, +8[. (On pourra faire tendre x vers +8).
4. En déduire la nature de la série $\sum { { u }_{ n } }$ puis celle de $\sum { { u }_{ n } }$

Exercice 4.
1. Soient. $({ u }_{ n })$ et $({ v }_{ n })$ deux suites à termes strictement positifs.
(a) Montrer que ${ u }_{ n }\sim { v }_{ n }$ si et seulement si, pour tout, il existe un entier K ? N tel que, pour tout entier k = K, on ait
(b) On suppose que la série $\sum { { u }_{ n } }$ est convergente et que ${ u }_{ n }\sim { v }_{ n }$ Est ce que la série $\sum { { u }_{ n } }$ converge?
Comment définit-on $\sum _{ k=n }^{ +\infty }{ { u }_{ k } }$ ? Démontrer que

$\sum _{ k=n }^{ +\infty }{ { u }_{ k } } \sim \sum _{ k=n }^{ +\infty }{ { v }_{ k } }$

2. On pose ${ u }_{ n }=\frac { 1 }{ n }$ et ${ S }_{ n }=1+\frac { 1 }{ 2 } +...+\frac { 1 }{ n }$ pour tout $n\ge 1$

(a) On pose, pour $n\ge 1$ , ${ u }_{ n }={ S }_{ n }-lnn$ et ${ t }_{ n }={ u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }$ Faire un développement limité en $\frac { 1 }{ n }$ de ${ t }_{ n }$ à l’ordre 2 et en déduire que la suite $({ u }_{ n })$ converge.On note $\Upsilon$ sa limite
(b) On pose pour $n\ge 1$ , ${ w }_{ n }={ u }_{ n }-\gamma$ .Montrer que
${ w }_{ n }\sim \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=n }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } }$
(C) Déterminer un équivalent simple de cette dernière expression (on pourra utilise: des intégrales).
(d) Montrer que
$\sum _{ k=1 }^{ 2n }{ \frac { (-1{ ) }^{ k-1 } }{ k } } ={ S }_{ 2n }-{ S }_{ n }$
Exprimer ${ S }_{ 2n }$ en fonction de ${ u }_{ 2n }$ , ${ u }_{ n }$ ,ln et n En déduire que
$\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \frac { (-1{ ) }^{ k-1 } }{ K } } =ln2$
Formulaire (DL usuels en zéro) :
${ e }^{ x }=1+\frac { x }{ 1! } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +...+\frac { { x }^{ n } }{ n! } +o({ x }^{ n });$
$sinx=x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { x }^{ 5 } }{ 5! } +...+(-1{ ) }^{ p }\frac { { x }^{ 2p }+1 }{ (2p+1)! } +o({ x }^{ 2p+2 })$
$cosx=1-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } +...+(-1{ ) }^{ p }\frac { { x }^{ 2p } }{ (2p)! } +o({ x }^{ 2p+1 })$