Partiel Séries-Intégrations | Cauchy-Schwarz - Continuité

Thèmes :

Questions de cours: Convergence / Convergence absolue / Intégrale / Continuité / Produit de Cauchy / Espace normé complet / Convergence simple / Convergence Uniforme / Convergence normale
Exercice 1: Intégrale impropre
Exercice 2: Intégrale impropre
Exercice 3: Série / Cauchy Schwartz
Exercice 4: Convergence simple / Suite de fonction / Convergence uniforme
Exercice 5: Convergence normale / Convergence uniforme
Exercice 6: Dérivabilité

Extrait :

Partiel Séries-Intégrations | Cauchy-Schwarz – Continuité

Partiel de Mathématiques – Séries (3h00)
(La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
pour une part importante dans l’appréciation des copies)
Questions de cours :
1) Donner les définitions de la convergence et de la convergence absolue, d’une intégrale +1
a
$\int _{ a }^{ +\infty }{ f(t)dt }$ , où f : $[a,+\infty [\longrightarrow$ ℝ est une fonction continue.
2) Donner la définition du produit de Cauchy de deux séries
$\sum { { u }_{ n } }$ et $\sum { { u }_{ n } }$
où ${ u }_{ n }$ et ${ u }_{ n }$ sont
des éléments d’une algèbre normée.
3) Soient X un ensemble et soit E un espace normé complet. Soit une suite d’applications
${ f }_{ n }:X\longrightarrow$ E. Donner les définitions des notions de converge simple, de convergence uniforme et
de convergence normale de la série
$\sum { { f }_{ n } }$ . Quelles sont toutes les implications entre ces notions?
4) Soient I un ouvert de ℝ. Soit une suite d’applications ${ f }_{ n }:I\longrightarrow$ ℝ. Donner des
conditions suffisantes pour que l’on ait
$(\sum _{ n=0 }^{ +\infty }{ { f }_{ n } } { ) }^{ ' }=\sum _{ n=0 }^{ +\infty }{ { { f }_{ n }^{ ' } } }$
Exercice 1 :
Étudier la nature des integrales impropres suivantes :
${ I }_{ 1 }=\int _{ 1 }^{ +\infty }{ \frac { dx }{ 1+x{ sin }^{ 2 }x } }$ , ${ I }_{ 2 }=\int _{ \frac { \pi }{ 2 } }^{ +\infty }{ \frac { { sin }^{ 2 }x }{ { x }^{ 2 } } }$ , ${ I }_{ 3 }=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { dx }{ ({ x }^{ 3 }+1)\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } } }$ , ${ I }_{ 4 }=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ { x }^{ 3 }{ e }^{ -x }sinxdx }$
Exercice 2 :
Soit l’intégrale impropre suivante : B(x,y) = ${ I }_{ 4 }=\int _{ 0 }^{ 1 }{ { t }^{ x-1 }(1-t{ ) }^{ y-1 }dt }$
1) Vérifier que B(x,y) = B(y,x).
2) Montrer que l’intégrale B(x,y) a un sens si et seulement si x > 0 et y > 0.
3) Calculer $B(\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } )$ (Indication : utiliser le changement de variable $t={ sin }^{ 2 }x$ ).
Exercice 3 :
Soit $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { u }_{ n } }$ une série à termes positifs qui supposée convergente.
1) Montrer que la série est convergente pour ® > 1.
2) On pose ${ S }_{ n }=\sum _{ p=1 }^{ n }{ \sqrt { { u }_{ p } } }$ . Montrer que ${ S }_{ n }\le M\sqrt { n }$ , où M est une constante à déterminer.
[Indication : utiliser l’inégalité de Cauchy-Schartz
$\sum _{ 1 }^{ n }{ { a }_{ i }{ b }_{ i }\le (\sum _{ 1 }^{ n }{ { a }_{ i }^{ 2 } } } { ) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }(\sum _{ 1 }^{ n }{ { b }_{ i }^{ 2 } } { ) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }$ ].
3) Soit
a) Vérifier que
en déduire que
b) Montrer que la série de terme général
c) Déduire de a) et b), que la série