Partiel Séries-Intégrations | Changement de variable – Continuité

Thèmes :

Questions de cours: Théorème de dérivation des suites de fonctions / Critère de D’Alembert
Exercice 1: Séries
Exercice 2: Convergence / Intégrale / Changement de variable
Exercice 3: Convergence simple / Convergence uniforme / Continuité / Limites

Extrait :

La dur´ee de ce devoir est de deux heures. Les exercices sont ind´ependants. L’usage des calculatrices
ainsi que de tout autre appareil ´electronique est interdit.
Question de cours.
1. Donner l’´enonc´e du th´eor`eme de d´erivation des suites de fonctions.
2. Enoncer pr´ecis´ement le crit`ere de d’Alembert sur les s´eries.
Exercice 1. Etudier la nature des s´eries de termes g´en´erals suivants.
,
,
Exercice 2.
1. Montrer que les deux int´egrales
dt et
dt sont convergentes.
2. En d´eduire que l’int´egrale
dt est convergente, et que sa valeur est ´egale `a
dt=0
3. Soit a > 0. A l’aide d’un changement de variables appropri´e, en d´eduire que

Exercice 3. Pour tout entier naturel n, on consid`ere la fonction ℝ d´efinie par
1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions sur [0, 1]. Y a-t-il convergence
uniforme sur [0, 1]? (Justifier)
2. Soit a un r´eel fix´e dans ]0, 1[. Montrer que la suite converge uniform´ement sur [a, 1]. Y
a-t-il convergence uniforme sur ]0, 1]? (Justifier)
3. Calculer
dx
Montrer que l’on a, pour tout entier et que
4. Soit g une fonction continue sur [0, 1] telle que g(0) = 0.
4a. Soit > 0 fix´e. Montrer que l’on peut choisir un r´eel a dans ]0, 1[ de telle sorte que, pour
tout n, on ait Le r´eel a ´etant fix´e, montrer en justifiant soigneusement que

4c. En d´eduire que

5. Soit h une fonction continue sur [0, 1]. Montrer que

existe et pr´eciser sa valeur.

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