Partiel Séries-Intégrations | Changement de variable - Continuité

Thèmes :

Questions de cours: Théorème de dérivation des suites de fonctions / Critère de D’Alembert
Exercice 1: Séries
Exercice 2: Convergence / Intégrale / Changement de variable
Exercice 3: Convergence simple / Convergence uniforme / Continuité / Limites

Extrait :

Partiel Séries-Intégrations | Changement de variable – Continuité

La dur´ee de ce devoir est de deux heures. Les exercices sont ind´ependants. L’usage des calculatrices
ainsi que de tout autre appareil ´electronique est interdit.
Question de cours.
1. Donner l’´enonc´e du th´eor`eme de d´erivation des suites de fonctions.
2. Enoncer pr´ecis´ement le crit`ere de d’Alembert sur les s´eries.
Exercice 1. Etudier la nature des s´eries de termes g´en´erals suivants.
$(i){ u }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }$ , $(ii){ u }_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { n(n+1) } }$
, $(iii){ w }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }\frac { lnn }{ \sqrt { n } }$
Exercice 2.
1. Montrer que les deux int´egrales
$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { ln(t) }{ 1+{ t }^{ 2 } } }$ dt et
$\int _{ 1 }^{ +\infty }{ \frac { ln(t) }{ 1+{ t }^{ 2 } } }$ dt sont convergentes.
2. En d´eduire que l’int´egrale
$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { ln(t) }{ 1+{ t }^{ 2 } } }$ dt est convergente, et que sa valeur est ´egale `a
$\int _{ 1 }^{ +\infty }{ \frac { ln(t) }{ 1+{ t }^{ 2 } } }$ dt=0
3. Soit a > 0. A l’aide d’un changement de variables appropri´e, en d´eduire que
$\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { ln(t) }{ { a }^{ 2 }+{ t }^{ 2 } } } dt=\frac { \pi }{ 2a } ln(a)$
Exercice 3. Pour tout entier naturel n, on consid`ere la fonction ℝ d´efinie par
1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions ${f}_{n}$ sur [0, 1]. Y a-t-il convergence
uniforme sur [0, 1]? (Justifier)
2. Soit a un r´eel fix´e dans ]0, 1[. Montrer que la suite $({f}_{n})$ converge uniform´ement sur [a, 1]. Y
a-t-il convergence uniforme sur ]0, 1]? (Justifier)
3. Calculer
${ I }_{ n }=\int _{ 0 }^{ 1 }{ { f }_{ n } } (x)$ dx
Montrer que l’on a, pour tout entier $n,0\le { I }_{ n }\le 1$ et que ${ lim }_{ n\longrightarrow \infty }{ I }_{ n }=1$
4. Soit g une fonction continue sur [0, 1] telle que g(0) = 0.
4a. Soit $\varepsilon$ > 0 fix´e. Montrer que l’on peut choisir un r´eel a dans ]0, 1[ de telle sorte que, pour
tout n, on ait Le r´eel a ´etant fix´e, montrer en justifiant soigneusement que
$\lim _{ n\longrightarrow \infty }{ \int _{ a }^{ 1 }{ g(x){ f }_{ n } } (x)dx=0 }$
4c. En d´eduire que
$\lim _{ n\longrightarrow \infty }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ g(x){ f }_{ n } } (x)dx=0 }$
5. Soit h une fonction continue sur [0, 1]. Montrer que
$\lim _{ n\longrightarrow \infty }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ h(x){ f }_{ n } } (x)dx=0 }$
existe et pr´eciser sa valeur.