Partiel Séries-Intégrations | Convergence – Développement limité

Thèmes :

Exercice 1: Intégrales impropres
Exercice 2: Séries
Exercice 3: Séries / Convergence / Dérivabilité
Exercice 4: Suites / Séries / Développement limité / Intégrales

Extrait :

Exercise 1. Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes
dx; dx

Exercice 2. Etudier les séries suivantes :
;
;
;

Exercice 3. On souhaite étudier la série de terme général

avec
1. A quelle condition la série converge t-elle absolument?
2. On pose
3. On considère la fonction f:[1,+8[–>R définie par .Calculer .E n déduire
qu‘il existe A ? [1, +8[ tel que f soit décroissante sur [A, +8[. (On pourra faire tendre x vers +8).
4. En déduire la nature de la série puis celle de

Exercice 4.
1. Soient. et deux suites à termes strictement positifs.
(a) Montrer que si et seulement si, pour tout, il existe un entier K ? N tel que, pour tout entier k = K, on ait
(b) On suppose que la série est convergente et que Est ce que la série converge?
Comment définit-on ? Démontrer que

2. On pose et pour tout

(a) On pose, pour , et Faire un développement limité en de à l’ordre 2 et en déduire que la suite converge.On note sa limite
(b) On pose pour , .Montrer que

(C) Déterminer un équivalent simple de cette dernière expression (on pourra utilise: des intégrales).
(d) Montrer que

Exprimer en fonction de , ,ln et n En déduire que

Formulaire (DL usuels en zéro) :

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