Exercices Analyse - Séries + Correction | Convergence - Developpement limité

Thèmes :

25 exercices: Série / Nature d’une série / Convergence / Suite décroissante / Terme générale / Injection / Divergence / Développement limité / Somme

Extrait :

Exercices Analyse – Séries + Correction | Convergence – Developpement limité

Séries
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette ﬁche sur www.france-maths.fr
* très facile ** facile *** difﬁculté moyenne **** difﬁcile ***** très difﬁcile
I : Incontournable
Exercice 1
Nature de la série de terme général
1 $(*)\quad ln(\frac { { n }^{ 2 }+n+1 }{ { n }^{ 2 }+n-1 } )$ 2 $(*)\frac { 1 }{ n+(-1{ ) }^{ n }\sqrt { n } }$ 3 $(**)(\frac { n+3 }{ 2n+1 } { ) }^{ 1n }$ 4 $(**)\frac { 1 }{ ln(n)ln(chn) }$ 5 $(**)Arccos\sqrt [ 3 ]{ 1-\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } }$ 6 $(*)\frac { { n }^{ 2 } }{ (n-1)! }$ 7) $(cos\frac { 1 }{ \sqrt { n } } { ) }^{ n }-\frac { 1 }{ \sqrt { e } }$ 8) $(**)ln(\frac { 2 }{ \pi } Arctan\frac { { n }^{ 2 }+1 }{ n } )$ 9) $(*)\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \frac { { cos }^{ 2 }x }{ { n }^{ 2 }+{ cos }^{ 2 }x } }$ dx 10) $(**){ n }^{ -\sqrt { 2sin } }(\frac { \pi }{ 4 } +\frac { 1 }{ n } )$ 11) $(**)e-(1+\frac { 1 }{ n } { ) }^{ n }$
Exercice 2
Nature de la série de terme général
1) $(***)\sqrt [ 4 ]{ { n }^{ 4 } } +2{ n }^{ 2 }-\sqrt [ 3 ]{ P(n) }$ où P est un polynôme 2) $(**)\frac { 1 }{ { n }^{ a } } S(n)$ ou S(n)= $\sum _{ p-2 }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ Pn } }$
3) $(**){ U }_{ n }$ ou ∀n ∈ ${ u }_{ n }=\frac { 1 }{ n } { e }^{ -Un-1 }$
4) $(****){ U }_{ n }=\frac { 1 }{ Pn }$ ou Pn est n-eme nombre premier
(indication : considérer $\sum _{ n-1 }^{ N }{ ln(\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ Pn } } } )=\sum _{ n-1 }^{ N }{ ln(1+Pn+{ P }_{ n }^{ 2 } } +...)$
5) $(***){ U }_{ n }=\frac { 1 }{ n({ e }^{ (n) }{ ) }^{ a } }$ ou c(n) est le nombre de chiffres de n en base 10.
6) $(*)\frac { ({ \Pi }_{ k=2 }^{ n }lnK{ ) }^{ a } }{ (n!{ ) }^{ b } }$ a > 0 et b > 0
7) $(**)Arctan((1+\frac { 1 }{ n } { ) }^{ a })-Arctan((1-\frac { 1 }{ n } { ) }^{ a })$
8) $(**)\frac { 1 }{ { n }^{ a } } \sum _{ k-1 }^{ n }{ { k }^{ 3/2 } }$
9) $(***)({ \Pi }_{ k-1 }^{ n }(1+\frac { K }{ { n }^{ a } } ))-1$
Exercice 3
Nature de la série de terme général
1) $(***)sin(\frac { \Pi { n }^{ 2 } }{ n+1 } )$ 2) $(**)\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n+(-1{ ) }^{ n-1 } }$ 3) $(**)ln(1+\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ \sqrt { n } } )$
4) $(***)\frac { { e }^{ 1n\alpha } }{ n }$ , $\frac { cos(n\alpha ) }{ n }$ et $\frac { sin(n\alpha ) }{ n }$
5) $(**)(-1{ ) }^{ n }\frac { ln }{ n }$
$(-1{ ) }^{ n }\frac { P(n) }{ Q(n) }$ où P et Q sont deux polynômes non nuls
7) $(-1{ ) }^{ n }\frac { P(n) }{ Q(n) }$ p entier naturel non nul.
Exercice 4
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vériﬁé leur convergence.
1) $(**)\sum _{ n-0 }^{ +\infty }{ \frac { n+1 }{ { 3 }^{ n } } }$
2) $(**)\sum _{ n-3 }^{ +\infty }{ \frac { 2n-1 }{ { n }^{ 3 }-4n } }$
3) $(***)\sum _{ n-0 }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ (3n)! } }$
5) $(**)\sum _{ n-2 }^{ +\infty }{ ln(1+\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n } } )$
Exercice 5
Soit ${ U }_{ n }$ n ℕ une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme général ${ U }_{ n }$ converge. Montrer que Trouver un exemple de suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général converge mais telle que la suite de terme général ${ U }_{ n }$ ne tende pas vers 0.
Exercice 6
Soit σ une injection de N∗ dans lui-même. Montrer que la série de terme général σ (n)n2 diverge
Exercice 7
Soit (Un)n∈N une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux. sont de mêmes natures.
Exercice 8
Trouver un développement limité à l’ordre 4 quand n tend vers l’inﬁni de $(e-\sum _{ k-0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k! } } )X(n+1)!$

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