Examen Séries / Intégrations | Série convergente - Intégration par partie

Thèmes :

Exercice 1: Convergence d’une série
Exercice 2: Nature d’une série
Exercice 3: Intégrale / Convergence / Changement de variable / Convergence absolue / Intégrale impropre
Exercice 4: Convergence absolue / Intégrale impropre / Dérivée partielle / Classe d’une fonction / Intégration par parties / Limite / Majoration

Extrait :

Examen Séries / Intégrations | Série convergente – Intégration par partie

On pourra utiliser les résultats suivants :

1. Si $h:[a,b[\rightarrow$ ℝ est une fonction telle que l’intégrale impropre $\int _{ b }^{ a }{ h(t) }$ dt converge absolument, alors
$|\int _{ a }^{ b }{ h(t)dt|\le \int _{ a }^{ b }{ |h(t)|dt } }$

2. Soient $f,g:[a,b[\rightarrow$ ℝ des fonctions vériﬁant, pour tout x ∈ [a,b[, f(x) ≤ g(x). Si les
intégrales impropres $\int _{ b }^{ a }{ h(t) }$ dt et $\int _{ b }^{ a }{ g(t) }$ dt convergent alors

$\int _{ a }^{ b }{ f(t)dt\le \int _{ a }^{ b }{ g(t)dt } }$

Exercice 1. Etudier les séries suivantes :

(1) $\sum _{ n\ge 2 }{ \frac { (3n)!(2n)!{ 5 }^{ 4n } }{ (5n-1)!{ 3 }^{ 2n }{ 2 }^{ 3n } } }$ ; (2) $\sum _{ n\ge 1 }{ \frac { { n }^{ lnn } }{ { (lnn) }^{ n } } }$

Exercice 2. Soient a un réel > 0 et β un réel quelconque. Etudier selon les valeurs de α,β, la nature de la série de terme général
${ u }_{ n }={ \left( \frac { { n }^{ \alpha }-1 }{ { n }^{ \alpha } } \right) }^{ { n }^{ \alpha +\beta } }$ , $n\ge 1$
On commencera par déterminer les valeurs de α,β pour lesquelles la suite $({ u }_{ n })$ ne tend pas vers 0.

Exercice 3. Soit β > 0.

1. Montrer que $\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left( \sqrt { 1+\frac { sint }{ { t }^{ 2 } } } -1 \right) } \frac { dt }{ { (lnt) }^{ \beta } }$ converge si et seulement si β < 1 (on pourra effectuer le changement de variable u = t — 1). 2. Etudier la convergence absolue de l'intégrale impropre 3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur β pour que l’intégrale impropre converge. Exercice 4. Soit f l'appiication déﬁnie sur [1,+∞[x[0,+∞[ par 1. Pour x ≥ 1 ﬁxé, montrer que l'intégrale impropre converge absolument. 2. Soit F l‘application déﬁnie sur [1, +∞[ par (3.) Montrer que f admet une dérivée partielle par rapport à x sur [1,+∞[×[0, +∞[ et calculer (b) Montrer qu’il existe une fonction ℝ telle - pour tout (x,t) ∈ [1,+∞[><[0,+∞[, on a. - l’intégrale impropre Prouver que F est de classe C¹ sur [1, +∞[ et, pour x ≥ 1, donner une expression de F'(x) sous forme d’une intégrale. (d) Montrer, à l‘aide d’une intégration par parties, que F’ est aussi déﬁnie sur 3. On admet le résultat suivant : Calculer dt Déterminer la limite de F lorsque x tend vers +∞ (a) Montrer que, pour tout réel u, on a (b) Justiﬁer l'existence du réel J déﬁni par (c) Pour x ≥ 1, majorer l’intégrale

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