Examen Séries-Intégrations | Boule - Classe C1

Thèmes :

Exercice 1: Fonction continue / Dérivées partielles / Points critiques / Hessienne / Extremum local / Maximum global / Boule / Frontière
Exercice 2: Ensemble / Volume
Exercice 3: Fonction de classe C1 / Intégrale

Extrait :

Examen Séries-Intégrations | Boule – Classe C1

Exercice 1 : On définit f(x,y) = (x + y) $log({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })$ , pour (x, y) ≠ (0,0) et f(0,0) = 0.
a) Montrer que f est continue sur et ${ C }^{ 1 }$ sur
b) f admet-elle des dérivées partielles en (0,0) ?
c) Montrer que f admet 4 points critiques dont on donnera les coordonnées.
d) Calculer la hessienne de f et en déduire la nature de ces points critiques.
e) Montrer que la fonction f n’admet pas d’extremum local au point (0,0).
f) Soit r > 0. Montrer que f atteint son maximum et minimum global sur la boule B(0,r),
c’est à dire qu’il existe deux points P et Q dans B(0,r) tels que
et
g) Montrer que si r $\le$ r0 = $\frac { 1 }{ \sqrt [ e ]{ 2 } }$
, ces extrêmes sont situés sur la frontière de cette boule.
Exercice 2 : Soit B ⊂ défini par B := {(x,y,z) ∈ ; x > 0 et y₂ + 2 ${ z }^{ 2 }$ Pour
T > 0 on définit l’ensemble BT := {(x,y,z) 2 ;.
a) Calculer le volume de BT en fonction de T.
b) En déduire que l’ensemble B a un volume ni que l’on précisera.
Exercice 3 : Soit D l’ensemble de défini par
Soit $\Gamma$ le bord de D orienté dans le sens direct. On désigne par g une fonction de classe ${ C }^{ 1 }$ sur
et on défini la fonction f(x,y) = (y – ${ x }^{ 2 }$ )}(x,y).
a) Montrer que
b) En déduire que
c) Utiliser ce résultat pour calculer
Examen Juin 2009 P2.1
Université Pierre et Marie Curie
Corrigé Examen LM216
4 Juin 2009
Exercice 1 : a) Comme |f(x,y)| $\le$ $\le \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } log({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })$ . Comme $lim\sqrt { t } log(t)=0$ quand
$t\longrightarrow$ 0 la continuité de f en découle.
b) Si $\frac { \vartheta f }{ \vartheta x } (0,0)$ existait elle serait egale a ${ lim }_{ x\longrightarrow 0 }\frac { f(x,0) }{ x } ={ lim }_{ x\longrightarrow 0 }log({ x }^{ 2 })$ mais cette …