Examen Séries-Intégrations | Convergence - Endomorphisme

Thèmes :

Exercice 1: Polynôme / Endomorphisme / Valeurs propres / Sous espaces propres / Matrice diagonalisable
Exercice 2: Intégrale généralisée / Convergence
Exercice 3: Intégrale généralisée / Rayon de convergence / Série entière / Majoration / Convergence

Extrait :

Examen Séries-Intégrations | Convergence – Endomorphisme

EXERCICE

Soient E l’espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2 et m un nombre réel.
Pour tout P de E on pose ${ u }_{ m }(P)=({ X }^{ 2 }-mX){ P }^{ ' }-2XP$ désigne évidemment le
polynôme dérivé de P.

1. Montrer que ${ u }_{ m }$ est un endomorphisme de E et déterminer ses Valeurs propres.
2. Montrer sans calculer les sous—espaces propres que pour m ≠ 0 l’endomorphisme ${ u }_{ m }$
est diagonalisable.
3. Montrer que u₀ n’est pas diagonalisable.
PROBLEME
Le problème comporte deux parties largement indépendantes.
Dans tout ce qui suit f est une fonction continue sur ℝ₊ et on suppose qu’il existe une
constante a > 0 telle que l’on ait |f(t)| ≤ at pour tout t ∈ ℝ₊.

Premiere partie

1. Montrer que l’intégrale généralisée $I=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { f(t) }{ { e }^{ t }-1 } }$ dt est convergente.
2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 l’intégrale généralisée ${ u }_{ n }=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ f(t){ e }^{ -nt } }$ dt est
convergente.
3. Montrer que pour tout reel t > 0 on a
$|\frac { f(t) }{ { e }^{ t }-1 } |\le$
4. Montrer que pour tout entier p ≥ 1 l’intégrale généralisée ${ I }_{ p }=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { f(t) }{ { e }^{ t }-1 } } { e }^{ -pt }$
convergente et que l’on a $|{ I }_{ p }|\le \frac { a }{ p }$
5. Montrer que pour tout entier p ≥ 1 on a
$\sum _{ n=1 }^{ p }{ { u }_{ n } } =I-{ I }_{ n }$
6. En déduire que la série de terme général ${ u }_{ n }$ converge et que l’on a $\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { u }_{ n } } =1$
Deuxiéme partie

7. Montrer que l’intégrale généralisée ${ u }_{ n }=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ f(t){ e }^{ -nt } }$ dt introduite à la question 2 Vériﬁe ## |{ u }_{ n }|\le \frac { a }{ { n }^{ 2 } }$ pour tout n ≥ 1
8. En dédulre que le rayon de convergence de la série entière $\underset { n\ge 1 }{ \sum { \frac { { u }_{ n } }{ n! } } } { t }^{ n }$ est inﬁni.
Dans la suite on note φ(t) la Somme de cette série entière.
9. Pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x ≥ 0 on pose $gn(x)=\frac { { u }_{ n } }{ n! } \int _{ 0 }^{ x }{ { t }^{ n } } { e }^{ -t }$ dt. Etablir en la justiﬁant soigneusement l’égalité
$\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \varphi (t){ e }^{ -t } } dt=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ gn(x) }$
10. On rappelle que pour tout entier n ≥ 1 on a $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ { t }^{ n } } { e }^{ -t }dt=n!$ . En déduire la
ℝ₊
11. A l’aide de ce qui précède justiﬁer la convergence de $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \varphi (t){ e }^{ -t } }$ dt et l’égalité
$\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \varphi (t){ e }^{ -t } } =\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { u }_{ n } }$