Examen Probabilités | Probabilités conditionnelles – Variable aléatoire

Thèmes :

Exercice 1: Questions de cours: Tribu / Espace probabilisé / Événement quasi impossible / Variable aléatoire / Espérance d’une variable aléatoire discrète infinie
Exercice 2: Tirage successif sans remise / Variable aléatoire / Loi de X / Loi du couple ( X;Y) / Espérance / Variables indépendantes
Exercice 3: Variable aléatoire / Loi de X / Espérance /
Exercice 4: Variable aléatoire / Loi de X / Espérance / Variance / Variable aléatoire
Exercice 5: Tirage avec remise / Variable aléatoire / Loi de X / Espérance / Variance / Tirages successifs / Probabilités conditionnelles

Extrait :

Exercice 1 : Questions de cours : Définir ce qu’est

a) une tribu
b) un espace probabilisé
c) un événement quasi impossible
d) une variable aléatoire
e) l’espérance d’une variable aléatoire discrète infinie

Exercice 2 :

On dispose d’une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules blanches indiscernables au toucher.
Dans l’urne, on effectue deux tirages successifs sans remise de la boule tirée entre les deux tirages.
On note X la variable aléatoire prenant la valeur 0 si la première boule tirée est rouge et la valeur 1 si elle est blanche.

On note Y le nombre de boules blanches tirées.

1. Préciser la loi de X.
2. Décrire les événements {(X = 0) ∩ (Y = 1)} et {(X = 1) ∩ (Y = 2)}, et préciser leur probabilité.
3. Donner, sous la forme d’un tableau è double entrée, la loi du couple (X ; Y).
4. En déduire la loi de Y et calculer son espérance.
5. Les variables X et Y sont-elles indépendantes?

Exercice 3 :

Une urne contient 4 boules blanches et 5 boules noires. On tire simultanément 3 boules de cette urne.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

1. Donner la loi de X et déterminer son espérance
2. Pour i ∈ , on note , l’événement {X =i}. Que peut—on dire de la famille ?

3. On remet alors dans l’urne les boules noires obtenues et l’on garde les boules blanches. Puis, on tire une quatrième boule. On note B l’événement : « la quatrième boule tirée est blanche »
Calculer P(B)

Exercice 4 : On dispose d’une urne contenant une boule blanche et une boule noire ainsi que d‘une
pièce non truquée. On considère l’expérience suivante :
– On jette la pièce une fois
– Si l’on obtient pile, on tire une boule de l’urne puis on la remet dans l’urne
– Si l’on obtient face, on tire une boule de l’urne et on ne la remet pas dans l’urne.
On répète alors deux fois l’expérience précédente et on note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
On note l’événement « le i-ème lancer de pièce donne pile »

On note , l’événement « le i-ème tirage amène la boule blanche »

l. Donner l’ensemble des valeur prises par X

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