Thèmes :
Exercice 1: Dés non pipés / Probabilités / Intégrale / Limite
Exercice 2: Variables aléatoires / Loi du couple / Variables indépendantes
Exercice 3: Fonction génératrice / Lois / Variance / Indépendance / Loi de Poisson
Exercice 4: Indépendance / Issues / Union infini
Extrait :
Examen Probabilités + Correction | Espace probabilisé – Fonction génératrice
EXERCICE l. : On lance trois dês supposés non pipês.
1) Quelle est la probabilité d’obtenir trois fois le même nombre ?
‘ 2) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux fois le même nombre ?
3) Quelle est la probabilité pour que la somme des trois dës soit supérieure
ou égale ä I5 ?
On lance les trois dës n fois de suite. Soit Nn le nombre de fois oü
l’on obtient trois fois le même nombre.
‘ N
4) Quelle est la limite, lorsque n tend vers + œ , de Ê? ?
5) Soit a > O . Exprimer ä l’aide d’une intégrale la limite lorsque n tend
vers l’infini de
EXERCICE 2.
Soient x et Y deux variables aléatoires entières
on pose
a.) Trouver la loi du couple (X,Y) et montrer que
b) Établir que lorsque
les deux variables X et Y – X sont indépendantes et trouver alors les lois de
chacune de ces deux variables.
EXERCICE 3.
Soit X et Y deux variables aléatoires entières. On définit la fonction
génératrice du couple (X,Y) par :
l) Exprimer 1a fonction génératrice
2) Par exemple, on suppose que la fonction génératrice du couple (X,Y)
est donnée par :
oü a>0 , b>0 , c>0 sont fixés .
Trouver .1es lois de X et Y . Calculer E(X) , E(Y) , var X, var Y .
Quelle est 1a fonction génératrice de X+Y ? En déduire var(X+Y) puis
cov(X,Y) .
Discuter suivant les valeurs de C , l’indépendance de X et Y .
g On suppose maintenant que X et Y sont indépendantes.
1) Exprimer la fonction génératrice A du couple (X,Y) en fonction
de gx et gY .
2) En déduire la fonction génératrice de la variable alé…