Pour avoir un point de vue global de la deuxième année de licence de Mathématiques, voici les différentes notions enseignées au semestre 3 et au semestre 4 de la licence de Mathématiques.
Semestre 3:
– Borne supérieure d’une partie de R non vide et majorée; toute suite ou fonction croissante et majorée a une borne supérieure
– Théorème de Bolzano-Weierstrass pour un segment
– Propriétés de l’intégrale ; toute fonction monotone ou continue est intégrable ; toute fonction continue sur un intervalle a des primitives.
Séries numériques et intégrales impropres
– Série numérique, convergence ; série géométrique, série de Riemann ; théorème de comparaison ; convergence absolue
– Série alternée ; exemples d’utilisation de la transformation d’Abel
– Intégrale impropre, convergence ; théorème de comparaison ; convergence absolue
– Comparaison entre série et intégrale.
Déterminant
– Déterminant d’une matrice ; calcul d’un déterminant
– Produit vectoriel et produit mixte dans l’espace euclidien R3 usuel
Diagonalisation et trigonalisation (en dimension finie)
– Valeur propre, vecteur propre et sous-espace propre d’un endomorphisme ; polynôme caractéristique
– Endomorphisme et matrice diagonalisable, critère de diagonalisation ;
– Endomorphisme et matrice trigonalisable, critère de trigonalisation ;
– Structure des matrices carrées réelles de taille 2 ;
– Théorème de Cayley-Hamilton ;
– Polynôme minimal, sous-espace stable.
Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
– Résolution d’un système différentiel linéaire à coefficients constants
Semestre 4:
Intégrale double
– Fonction intégrable, notion d’aire ; calcul d’une intégrale double par intégrales simples successives
– Changement de variables pour les coordonnées polaires.
Séries de fonctions
– Série de fonctions convergente ; convergence uniforme et convergence normale ;
– Théorèmes de passage à la limite terme à terme
– Transformation d’Abel ;
– Séries entières, rayon de convergence ; intégration et dérivation terme à terme ; produit de deux séries entières
– Développement des fonctions usuelles, fonctions développables en série entière.
Intégrales à paramètre
– Intégrale (à paramètre réel) sur un segment : continuité et dérivation sous le signe somme
– Intégrale impropre à paramètre : continuité et dérivation sous le signe somme.
Forme bilinéaire symétrique et forme quadratique
– Forme bilinéaire symétrique, forme quadratique, identité de polarisation ; vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace ; forme non dégénérée
– Matrice d’une forme bilinéaire dans une base, expression matricielle ; formule de changement de base
– Décomposition d’une forme quadratique en une somme de carrés de formes linéaires indépendantes ; Bases orthogonales.
Espace euclidien
– Produit scalaire, norme euclidienne ; inégalité de Cauchy-Schwarz ; théorème de Pythagore
– Sous-espaces orthogonaux ; projection et symétrie orthogonale ;
– Base orthonormée, coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée ; orthonormalisation de Gram-Schmidt ;
– Isométrie d’un espace euclidien de dimension finie ; matrice orthogonale ; groupe orthogonal ; classification des matrices orthogonales de taille 2 ; rotation et symétrie vectorielle en dimension 2 ou 3.
Endomorphisme symétrique d’un espace euclidien
– Adjoint d’un endomorphisme d’un espace euclidien, matrice de l’adjoint ; endomorphisme symétrique
– Diagonalisation des matrices symétriques réelles dans le groupe orthogonal ; recherche d’une base orthonormée orthogonale pour une forme quadratique donnée ; recherche des axes d’une ellipse ou d’une hyperbole.