Exercices Analyse – Plans tangents à un graphe / Différentiabilité + Correction | Cône – Dérivées directionnelles

Thèmes :

Exercice 1: Equation du plan tangent
Exercice 2: Equation du plan tangent
Exercice 3: Paraboloïde / Plan tangent
Exercice 4: Cône / Vecteur normal / Plan vertical
Exercice 5: Equation du plan tangent / Plans parallèles
Exercice 6: Fonction continue / Dérivée directionnelle / Différentiabilité
Exercice 7: Approximation affine

Exercice 1
Trouver l’équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x0;y0; z0) donné :
1. ;
2. ; .
Indication H
Exercice 2
On demande à un étudiant de trouver l’équation du plan tangent à la surface d’équation au point
. Sa réponse est

1. Expliquer, sans calcul, pourquoi cela ne peut en aucun cas être la bonne réponse.
2. Quelle est l’erreur commise par l’étudiant ?
3. Donner la réponse correcte.
Indication H
Exercice 3
Trouver les points sur le paraboloïde où le plan tangent est parallèle au plan x+2y+z=6. Même
question avec le plan .
Indication H
Exercice 4
Soit C le cône d’équation et le demi-cône où . Pour un point quelconque de , de coordonnées , on noteP le plan tangent au cône C en .
1. Déterminer un vecteur normal et l’équation du plan P .
2. Montrer que l’intersection du cône C avec le plan vertical d’équation y = ax où a ∈ ℝ est constituée de
deux droites et et que l’intersection du demi-cône avec ce plan vertical est constituée de deux
demi-droites
et { D }_{ 2 }^{ + }

3. Montrer que le plan tangent au cône C est le même en tout point de (respectivement en
tout point de { D }_{ 2 }\diagdown \{ (0,0,0)\} .
Indication H
Exercice 5
Soit f la fonction définie sur par f (x,y) = .
1. Déterminer l’équation du plan tangent P au graphe de f en un point quelconque de .
2. Pour le point de coordonnées (2,1,2), déterminer tous les points M tels que le plan tangent en M soit
parallèle àP .
Indication H
Exercice 6
1
Soit la fonction f : ℝ définie par
f (x,y) = ;
et f (0;0) = 0.
1. Montrer que f est continue et que, quel que soit v ∈ , la dérivée directionnelle f (x,y) existe en
chaque (x,y) ∈ mais que f n’est pas différentiable en (0,0).
2. La dérivée …

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