Exercices Analyse - Plans tangents à un graphe / Différentiabilité + Correction | Cône - Dérivées directionnelles

Thèmes :

Exercice 1: Equation du plan tangent
Exercice 2: Equation du plan tangent
Exercice 3: Paraboloïde / Plan tangent
Exercice 4: Cône / Vecteur normal / Plan vertical
Exercice 5: Equation du plan tangent / Plans parallèles
Exercice 6: Fonction continue / Dérivée directionnelle / Différentiabilité
Exercice 7: Approximation affine

Extrait :

Exercices Analyse – Plans tangents à un graphe / Différentiabilité + Correction | Cône – Dérivées directionnelles

Exercice 1
Trouver l’équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x0;y0; z0) donné :
1. $z=\sqrt { 19-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }$ ${ (x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 })=(1,3,3)$ ;
2. $z=sin(\pi xy)exp2{ x }^{ 2 }y-1)$ ; $({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 })=(1,1/2,1)$ .
Indication H
Exercice 2
On demande à un étudiant de trouver l’équation du plan tangent à la surface d’équation $z={ x }^{ 4 }-{ y }^{ 2 }$ au point
$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 })=(2,3,7)$ . Sa réponse est
$z=4{ x }^{ 3 }(x-2)-2y(y-3)$
1. Expliquer, sans calcul, pourquoi cela ne peut en aucun cas être la bonne réponse.
2. Quelle est l’erreur commise par l’étudiant ?
3. Donner la réponse correcte.
Indication H
Exercice 3
Trouver les points sur le paraboloïde $z=4{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$ où le plan tangent est parallèle au plan x+2y+z=6. Même
question avec le plan $3x+5y-2z=3$ .
Indication H
Exercice 4
Soit C le cône d’équation ${ z }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$ et ${ C }^{ + }$ le demi-cône où $z\ge 0$ . Pour un point quelconque ${ M }_{ 0 }$ de $C\diagdown \{ (0,0,0)\}$ , de coordonnées $({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },\pm \sqrt { { (x }_{ 0 }^{ 2 }+{ y }_{ 0 }^{ 2 } }$ , on noteP ${ M }_{ 0 }$ le plan tangent au cône C en ${ M }_{ 0 }$ .
1. Déterminer un vecteur normal et l’équation du plan P ${ M }_{ 0 }$ .
2. Montrer que l’intersection du cône C avec le plan vertical d’équation y = ax où a ∈ ℝ est constituée de
deux droites ${ D }_{ 1 }$ et ${ D }_{ 2 }$ et que l’intersection du demi-cône ${ C }^{ + }$ avec ce plan vertical est constituée de deux
demi-droites ${ D }^{ + }$
${ D }_{ 1 }^{ + }$ et { D }_{ 2 }^{ + }

3. Montrer que le plan tangent au cône C est le même en tout point de ${ D }_{ 1 }\diagdown \{ (0,0,0)\}$ (respectivement en
tout point de { D }_{ 2 }\diagdown \{ (0,0,0)\} .
Indication H
Exercice 5
Soit f la fonction définie sur par f (x,y) = ${ x }^{ 2 }-2{ y }^{ 3 }$ .
1. Déterminer l’équation du plan tangent P ${ M }_{ 0 }$ au graphe ${ G }_{ f }$ de f en un point quelconque ${ M }_{ 0 }$ de ${ G }_{ f }$ .
2. Pour le point ${ M }_{ 0 }$ de coordonnées (2,1,2), déterminer tous les points M tels que le plan tangent en M soit
parallèle àP ${ M }_{ 0 }$ .
Indication H
Exercice 6
1
Soit la fonction f : ℝ définie par
f (x,y) = $\frac { x{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }$ ; $(x,y)\neq (0,0)$
et f (0;0) = 0.
1. Montrer que f est continue et que, quel que soit v ∈ , la dérivée directionnelle ${ D }_{ v }$ f (x,y) existe en
chaque (x,y) ∈ mais que f n’est pas différentiable en (0,0).
2. La dérivée …

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des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
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