Exercices Analyse – Fonctions et topologie élémentaire de Rn + Correction | Adhérence – Boule ouverte

Thèmes :

Partie 1 – ( 5 exercices ): Graphe / Lignes de niveaux / Courbe paramétrée / Surfaces de niveaux / Partie ouverte / Partie fermée / Intérieure / Adhérence / Boule ouverte / Réunion / Intersection

Extrait :

Enoncés : Stephan de Bièvre
Corrections : Johannes Huebschmann
Fonctions et topologie élémentaire de ℝ et B ℝ

Exercice 1
1. Tracer le graphe de la fonction f : ℝ ℝ définie par f (x,y) = ; et tracer les lignes de niveau de cette fonction.
2. Tracer les graphes des fonctions f et g définies par f (x,y) = 25 − et g(x,y) = 5 −
3. Tracer le graphe de la courbe paramétrée f: ℝ ℝ f(x)=
4. Peut-on représenter graphiquement l’application de la question (3.)? Comment?
5. Décrire les surfaces de niveau de la fonction f: ℝ ℝ définie par f(x,y,z) = exp
6. Pourquoi ne peut-t-on pas naïvement représenter le graphe de l’application f: ℝ ℝ ,f(x,y)=(-y,x) sur une feuille de papier. Comment peut-on graphiquement représenter cette application?
Exercice 2
Déterminer si chacune des parties suivantes du plan sont ouvertes ou fermées, ou ni l’un ni l’autre. Déterminerchaque fois l’intérieur et l’adhérence.
1. ℝ
2. ℝ
Exercice 3
1. Soient latex _{ 1 }\subset$ ℝ des boules ouvertes. Montrer que B B ℝ est un ouvert.
2. Soit A un ouvert de ℝ et B un ouvert de ℝ. Montrer que A×B est un ouvert de ℝ
Exercice 4
1. Soit ℕ une suite de parties ouvertes de ℝ Est-ce que la réunion des est encore une partie ouverte? Et leur intersection?
2. Même question pour une famille de parties fermées.
Exercice 5
Soit A = ℝ . Montrer que A n’est ni ouvert ni fermé. Déterminer l’adhérence de A Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

Aperçu :