Partiel Algèbre linéaire | Anneau – Base

Thèmes :

Questions de cours: Monoïde / Groupe / Anneau / Corps / Domaine d’intégrité / Element premier / Element irréductible / Valeur propre / Vecteur propre / Sous espace propre / Matrice Diagonalisable / Matrice triangularisable
Exercice 1: Déterminant / Matrice inversible
Exercice 2: Base canonique / Endomorphisme / Image / Noyau / Rang / Base / Puissance d’une matrice
Exercice 3: Domaine d’intégrité / Récurrence / Divisibilité / Nombre premier / Théorème de Fermat

Extrait :

Test

I) Énoncer : ‘ la définition d’un monoïde,
d’un groupe,
d’un anneau,
d’un corps ;
d’un domaine d‘intégrité,
d’un élément : irréductible,
: premier ;
d’une valeur propre,
d’un vecteur propre,
d’un sous-espace propre.
des caractérisations d’une matrice : diagonalisable,
: triangularisation.
Partiel

I) 1) Montrer que les matrices et sont inversibles, puis calculer leurs inverses.

2)Déterminer n ∈ ℕ vérifiant

II)On note la base canonique de
1) a) Montrer que définie par est une base de E;
b) Déterminer et Mat( f ; C), où f est l’endomorphisme de E défini par

Etant donné endomorphisme g de E défini par Mat(g ; C) = , déterminer l’image de g,le noyau de g, le rang de g; expliciter une base de l’image de g, du noyau de g; vérifier que E = Im g ⊕ Ker g.

3) a) Montrer qu’il est possible de choisir deux vecteurs η₁ et η₂ dans E* vérifiant : g(η₁) = 5η₁, g(η₂) = – 3η₂ ;
b) Vérifier que A = (η₁, η₂, ε₃) est une base de E ; déterminer Mat( g ; A) ;
c) Déduire de b) le calcul de pour tout n ∈ ℕ.

III) 1) On considere un domaine d’intégrité R, a ∈ R, k ∈ ℕ* et ∈ “. Montrer, par récurrence sur k, que,
si a est premier et divise alors il existe j ∈ tel que a divise
2) Déduire de 1) que, étant donné p ∈ ℕ*, h ∈ et c ∈ ℕ, si p est premier et divise h ! x c, alors p divise c.
3) Déduire de 2) que, étant donné p ∈ ℕ, si p est premier, alors, pour tout h ∈ divise

4) Déduire de 3), par récurrence pour n ∈ ℕ, puis par opposition pour n ∈ ℤ — ℕ, le théorème de Fermat :

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