Partiel Algèbre Linéaire | Binôme de Newton - Matrice

Thèmes :

Exercice 1: Puissance d’une matrice / Système différentiel
Exercice 2: Récurrence / Matrice carré / Binôme de Newton

Extrait :

Partiel Algèbre Linéaire | Binôme de Newton – Matrice

1) – Calculer, pour tout n ∈ ℤ Résoudre le système différentiel : $\begin{cases} { 2x }^{ ' }=y+z \\ { 2y }^{ ' }=z+x \\ { 2z }^{ ' }=x+y \end{cases}$
11) On pose, pour tout (p, q) ∈ ℕ x ℕ tel que p ≤ q, $\left( q\\ p \right) =\frac { q! }{ p!(q-p)! }$ et, pour tout (m, n) ∈ ℕ* x ℕ*, ${ S }_{ m }(n)=\sum _{ h=1 }^{ h=n }{ { h }^{ m } }$

A) 1) Vériﬁer, par récurrence, que, pour tout n ∈ N*, ${ S }_{ 1 }(n)=n(n+1)/2$

2) a) Répondre par oui ou non la question suivante : A-t-on, pour tout h ∈ ℝ, $(h+1{ ) }^{ m+1 }=1+\sum _{ j=1 }^{ m+1 }{ \left( m+1\\ \quad j \right) } { h }^{ j }$

1 b) Déduire de a), appliqué à tout h ∈ [0, n], que, pour tout n ∈ N*, ${ S }_{ m+1 }(n+1)=(n+1)+\sum _{ j=1 }^{ m+1 }{ \left( m+1\\ \quad j \right) } { S }_{ j }(n)$

c) Déduire, de b), que, pour tout m ∈ ℕ* — {1}, ${ S }_{ m }(n)=(n+1{ ) }^{ m+1 }-(n+1)-\sum _{ j=1 }^{ m-1 }{ \left( m+1\\ \quad j \right) } { S }_{ j }(n)$
3) a) Déduire, de 1) et 2) la valeur factorisée de ${ S }_{ 2 }(n)$
b) Exprimer ${ S }_{ 3 }(n)$ en fonction de ${ S }_{ 1 }(n)$
B) Etant donné (m, t) ∈ ℕ* × ℝ, on déﬁnit la matrice carrée
par Pour toute i ∈ [1,m+1]
${ a }_{ i,m+1 }={ t }^{ i }$ et, pour j ∈ [1,m], ${ a }_{ i,j }=\left( i\\ j-1 \right)$ si j ≤ i et ${ a }_{ i,j }=0$ si i < j, et on pose : 1 a) Vériﬁer, à l’aide de la formule du binôme de Newton, que la dernière colonne de est Somme : d’une combinaison linéaire des autres colonnes de B, : de la dernière colonne de et : d’une colonne dont les m premiers coefﬁcients sont nuls. b) Exprimer en fonction de (m + 1)! 2) Déduire de 1) que, pour n ∈ ℕ*, 3) Déduire de 2) la valeur