Thèmes :
Exercice 1: Dérivées partielles
Exercice 2: Dérivées partielles
Exercice 3: Différentielle / Bijection / Matrice jacobienne
Exercice 4: Matrice hessienne
Exercice 5: Coordonnées polaires / Changement de variable / Laplacien
Exercice 6: Equation des ondes
Extrait :
Exercices Analyse – Différentielles et dérivées partielles secondes + Correction | Bijection – Changement de variable
Exercice 1
Calculer les différentielles suivantes, sans calculer des dérivées partielles, en utilisant les propriétés des différentielles
de sommes, produits et composées :
Indication H
Exercice 2
1. Y a-t-il une fonction g: ℝ²->ℝ telle que
dg = x²y²dx+x³ydy?
2. Trouver les fonctions b: ℝ²->ℝ telles qu’il existe g: ℝ²->ℝ satisfaisant à la condition
dg = x²y²dx+b(x,y)dy:
Étant donnée alors la fonction b, déterminer toutes les fonctions g correspondantes.
Indication H
Exercice 3
Soit g: une fonction de classe C¹ telle que g(1,1) = 3 et dont la différentielle vaille
dg = (2xy+y²)dx+(x²+2xy)dy: (1)
Soit
h:
l’application de classe C¹ définie par
h(x,y) = (u(x,y),v(x,y)) = (x²y,xy²)
1. Calculer du+dv.
2. Déterminer g à partir du calcul précédent et (1), et sans autre calcul.
3. Montrer que h est une bijection. (On pourra calculer explicitement h1.)
4. Déterminer explicitement
5. Calculer les matrixes jacobiennes
où I2 est la matrice identité d’ordre 2.
Indication H
Exercice 4
Calculer les matrices hessiennes des fonctions f définies par les expressions suivantes sur leur domaine de
définition naturel :
1
Indication H
Exercice 5
Soit f : ℝ une fonction de classe
plan de telle sorte que l’association
soit un changement de variables. Soit F la fonction définie par
C’est “l’expression de f en coordonnées polaires”. Montrer que
Cette formule calcule “le Laplacien en coordonnées polaires.” L’exercice ne dépend pas de la connaissance du
Laplacien cependant.
Indication H
Exercice 6
Les variables étant notées x et t, trouver la solution …
Aperçu:
Téléchargement : |
Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants |