Exercices Analyse - Différentielles et dérivées partielles secondes + Correction | Bijection - Changement de variable

Thèmes :

Exercice 1: Dérivées partielles
Exercice 2: Dérivées partielles
Exercice 3: Différentielle / Bijection / Matrice jacobienne
Exercice 4: Matrice hessienne
Exercice 5: Coordonnées polaires / Changement de variable / Laplacien
Exercice 6: Equation des ondes

Extrait :

Exercices Analyse – Différentielles et dérivées partielles secondes + Correction | Bijection – Changement de variable

Exercice 1
Calculer les différentielles suivantes, sans calculer des dérivées partielles, en utilisant les propriétés des différentielles
de sommes, produits et composées :
$(a)d(ln(xy))$ $latex(b)d(xyz(1+sinh(yxz)))$ $(c)d(sin({ x }^{ 2 }y){ e }^{ x-y }))$
Indication H
Exercice 2
1. Y a-t-il une fonction g: ℝ²->ℝ telle que
dg = x²y²dx+x³ydy?
2. Trouver les fonctions b: ℝ²->ℝ telles qu’il existe g: ℝ²->ℝ satisfaisant à la condition
dg = x²y²dx+b(x,y)dy:
Étant donnée alors la fonction b, déterminer toutes les fonctions g correspondantes.
Indication H
Exercice 3
Soit g: une fonction de classe C¹ telle que g(1,1) = 3 et dont la différentielle vaille
dg = (2xy+y²)dx+(x²+2xy)dy: (1)
Soit
h:
l’application de classe C¹ définie par
h(x,y) = (u(x,y),v(x,y)) = (x²y,xy²)
1. Calculer du+dv.
2. Déterminer g à partir du calcul précédent et (1), et sans autre calcul.
3. Montrer que h est une bijection. (On pourra calculer explicitement h1.)
4. Déterminer explicitement $d(g\o { h }^{ -1 })$ .
5. Calculer les matrixes jacobiennes ${ J }_{ h }(x,y)$ et ${ J }_{ h-1 }(u,v)$ et vérifier par un calcul direct que
${ J }_{ h }(x,y){ J }_{ h-1 }(h(x,y))={ I }_{ 2 }$
où I2 est la matrice identité d’ordre 2.
Indication H
Exercice 4
Calculer les matrices hessiennes des fonctions f définies par les expressions suivantes sur leur domaine de
définition naturel :
${ sin }(y/x)$ ${ sin }^{ 2 }(y/x)$
1
Indication H
Exercice 5
Soit f : ℝ une fonction de classe ${ C }^{ 2 }$ et soient r et q les coordonnées polaires standard dans le
plan de telle sorte que l’association
$(r,\theta )\longmapsto (x,y)=(rcos\theta ,rsin\theta )$
soit un changement de variables. Soit F la fonction définie par
$F(r,\theta )=f(rcos\theta ,rsin\theta )$
C’est “l’expression de f en coordonnées polaires”. Montrer que
$\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { x }^{ 2 } } (x,y)+\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { y }^{ 2 } } (x,y)=\frac { { \partial }^{ 2 }F }{ \partial { r }^{ 2 } } (r,\theta )+\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }F }{ \partial { \theta }^{ 2 } } (r,\theta )$
Cette formule calcule “le Laplacien en coordonnées polaires.” L’exercice ne dépend pas de la connaissance du
Laplacien cependant.
Indication H
Exercice 6
Les variables étant notées x et t, trouver la solution …

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