Exercices Algèbre – Réduction des endomorphismes + Correction – Niveau L2

Thèmes :

37 Exercices: Puissance d’une matrice, Polynôme caractéristique, Matrice diagonalisable, Noyau, Endomorphisme, Valeurs propres, Image, Espace vectoriel, Nilpotent, Matrice Carrée, Vecteurs propres, Déterminant, Trace, Matrice antisymétrique, Injectivité, Surjectivité, Matrice trigonalisable, Base canonique

Extrait :

Réduction
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.math-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1 **
Soit A = Pour n entier relatif donné, calculer par trois méthodes différentes.
Exercice 2 **
Résoudre dans M3(R) l’équation = A où A
Exercice 3 **
1. Vérifier que A n’est pas diagonalisable.
2. Déterminer Ker
3. Montrer que A est semblable à une matrice de la forme.
4. Calculer pour n entier naturel donné.
Exercice 4 ***
Soit f qui à P élément de associe f (P) =
Vérifier que f est un endomorphisme de { ℝ }_{ 2n }$ [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f.f est-il diagonalisable?
Exercice 5 ***
Soit E = . Pour P élément de E, soit f(P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = et B =
Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f, Im f et les valeurs et vecteurs propres de f
Exercice 6 ***
Soit
A une matrice rectangulaire de format (p,q) et B une matrice de format (q,p). Comparer les polynômescaractéristiques de AB et BA.
Exercice 7 *** I
Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutentet que v est nilpotent.Montrer que det (u+v) = detu
Exercice 8 ****
Soit A une matrice carrée de format n.Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀K ∈ ,
Tr = 0
Exercice 9 *** I
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg−gf = f. Montrerque f est nilpotent.

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