Exercices Algèbre - Déterminants + Correction | Matrice Carrée - Matrice commutative

Thèmes :

16 Exercices: Déterminant / Matrice carrée / Nombre complexe / Déterminant de Vandermonde / Déterminant de Cauchy / Résolution de système / Déterminant circulant / Matrices commutatives / Matrice inversible / Polynôme caractéristique

Extrait :

Exercices Algèbre – Déterminants + Correction | Matrice Carrée – Matrice commutative

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable
Exercice 1 **
Soient A= $({ a }_{ i },j)$ $1\le i\le n$ une matrice carrée et B= $({ b }_{ i },j)$ $1\le i\le n$ où ${ b }_{ i,j }=(-1{ ) }^{ 1+{ j }_{ ai,j } }$ Calculer det(B) en fonction
de det(A).

Exercice 2 ***I
On définit par blocs une matrice A par A = $\begin{pmatrix} B & D \\ 0 & C \end{pmatrix}$
où A, B et C sont des matrices carrées de formats
respectifs n, p et q avec p+q = n. Montrer que det(A) = det(B)Xdet(C).

Exercice 3 ***I Déterminants de VANDERMONDE
Soient ${ x }_{ 0 },{ x }_{ 1 },...{ x }_{ n-1 }n$ nombres complexes. Calculer $Van({ x }_{ 0 },...{ x }_{ n-1 })$ = $det({ x }_{ j-1 }^{ i-1 })$
$1\le i\le n$

Exercice 4 ****I Déterminant de CAUCHY
Soient ${ a }_{ 1 },{ ...,a }_{ n }{ b }_{ 1 },...,{ b }_{ n }{ 2 }n$ nombres complexes tels que toutes les sommes ##{ a }_{ i }+{ b }_{ j }$ $1\le i,j\le n$ , soient non
nulles. Calculer ${ C }_{ n }=det(\frac { 1 }{ { a }_{ i }+{ b }_{ j } } { ) }_{ 1\le i,j\le n }$
. Cas particulier : (déterminant de HILBERT).

Exercice 5 **
Résoudre le système MX = U où M = $({ j }^{ i-1 })1\le i,j\le n$ $\in { M }_{ n }$ (ℝ) et X est un vecteur
colonne inconnu.

Exercice 6 **
Calculer det(sin(ai+aj)) $1\le i,j\le n$ où ${ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n }$ sont n réels donnés (n > 2).

Exercice 7 **
Calculer det(ai+bj) $1\le i,j\le n$ où a1,…,an, b1,. . . ,bn sont 2n complexes donnés.

Exercice 8 **
Calculer det $((a+i+j{ ) }^{ 2 })$ $1\le i,j\le n$ où a est un complexe donné.

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