Thèmes :
Exercice 1: Forme quadratique / Forme polaire / Signature / Rang / Base orthogonale
Exercice 2: Classe C infini / Points critiques / Extremum local / Minimum local
Exercice 3: Fonction périodique / Coefficient de Fourier / Convergence simple / Série de Fourier
Exercice 4: Intégrale dépendant d’un paramètre / Dérivabilité
Extrait :
Examen Algèbre / Analyse | Base orthogonale – Classe
EXERCICE 1
Soit m un réel. On considère la forme quadratique
1. Donner la forme polaire de
2. Préciser, suivant les Valeurs de m, la signature et le rang de
3. Déterminer une base de 1R3 orthogonale pour
EXERCICE 2
On considère la fonction f définie sur
f(x,y) : xy(x + y — 3) pour tout (x,y) ∈
1. Justifier rapidement que f est de classe
2. Montrer que f présente exactement quatre points critiques que l’on précisera. Calculer
les Valeurs prises par f en chacun de ses points critiques.
3. Montrer que les trois points critiques où f s’annule ne correspondent pas a un extremum
local de f.
4. Montrer que le quatrième point critique correspond a un minimum local strict de f.
EXERCICE 3
Soit a un réel non nul. On note
1. Représenter sommairement l’allure du graphe de
2. Calculer les coefficients de Fourier de
3. Établir la convergence simple sur
de
4. De la relation obtenue au point
5. Par un passage a la lirnite convenablement justifie’, retrouver la valeur de
EXERCICE 4
On considère la fonction F définie sur ℝ par
1. Montrer que F est 2 fois dérivable sur ℝ et donner une expression de F’(x) et F”(x)
sous forrne intégrale.
2. Calculer
3. Montrer que l’on a
xF”(x) + F’(x) + xF(x) = 0
pour tout x ∈ ℝ.