Examen Algèbre / Analyse | Base orthogonale - Classe

Thèmes :

Exercice 1: Forme quadratique / Forme polaire / Signature / Rang / Base orthogonale
Exercice 2: Classe C infini / Points critiques / Extremum local / Minimum local
Exercice 3: Fonction périodique / Coefficient de Fourier / Convergence simple / Série de Fourier
Exercice 4: Intégrale dépendant d’un paramètre / Dérivabilité

Extrait :

Examen Algèbre / Analyse | Base orthogonale – Classe

EXERCICE 1
Soit m un réel. On considère la forme quadratique ${ Q }_{ m }## sur ## { ℝ }^{ 3 }$ déﬁnie par
${ Q }_{ m }(x)={ x }_{ 1 }^{ 2 }+{ x }_{ 2 }^{ 2 }+{ x }_{ 3 }^{ 2 }+{ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }+m{ x }_{ 2 }{ x }_{ 3 }$

1. Donner la forme polaire de ${ Q }_{ m }$ .

2. Préciser, suivant les Valeurs de m, la signature et le rang de ${ Q }_{ m }$ .

3. Déterminer une base de 1R3 orthogonale pour ${ Q }_{ m }$ .

EXERCICE 2
On considère la fonction f déﬁnie sur ${ ℝ }^{ 2 }$ par
f(x,y) : xy(x + y — 3) pour tout (x,y) ∈ ${ ℝ }^{ 2 }$ .

1. Justiﬁer rapidement que f est de classe ${ C }^{ ∞ }## sur ## { ℝ }^{ 2 }$ .

2. Montrer que f présente exactement quatre points critiques que l’on précisera. Calculer
les Valeurs prises par f en chacun de ses points critiques.

3. Montrer que les trois points critiques où f s’annule ne correspondent pas a un extremum
local de f.

4. Montrer que le quatrième point critique correspond a un minimum local strict de f.

EXERCICE 3
Soit a un réel non nul. On note ${ f }_{ a }## la fonction ## 2\pi$ périodique sur ℝ qui Vériﬁe
${ f }_{ a }(t)={ e }^{ at }## pour ## t\in [-\pi ,+\pi [$ .
1. Représenter sommairement l’allure du graphe de ${ f }_{ a }## sur l’interValle ## t\in [-3\pi ,+3\pi ]$ .
2. Calculer les coefficients de Fourier de ${ f }_{ a }$ .

3. Établir la convergence simple sur $t\in [-7\pi ,7\pi ]$ , et préciser la somme, de la série de Fourier
de ${ f }_{ a }$ .
4. De la relation obtenue au point $t=\pi$ , déduire la valeur de
$\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } }$
5. Par un passage a la lirnite convenablement justiﬁe’, retrouver la valeur de
$\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } }$
EXERCICE 4

On considère la fonction F déﬁnie sur ℝ par
$F(x)=\int _{ 0 }^{ \pi }{ cos(xsint)dt }$ portout x ∈ ℝ
1. Montrer que F est 2 fois dérivable sur ℝ et donner une expression de F’(x) et F”(x)
sous forrne intégrale.
2. Calculer
$\frac { \vartheta }{ \vartheta t } (sin(xsint))$
3. Montrer que l’on a
xF”(x) + F’(x) + xF(x) = 0

pour tout x ∈ ℝ.

Aperçu :

Afficher ce document sur Scribd

Téléchargement :

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Thèmes :

Extrait :

Examen Algèbre / Analyse | Base orthogonale – Classe

Aperçu :

Téléchargement :

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

Partager :

Sur le même thème

Laisser un commentaire X