Examen Algèbre / Analyse | Convergence - Endomorphisme

Thèmes :

Exercice 1: Polynôme / Polynôme dérivé / Endomorphisme / Valeurs propres / Sous espaces propres / Endomorphisme diagonalisable
Problème: Intégrale généralisée / Convergence / Série convergente / Rayon de convergence / Série entière /Majoration

Extrait :

Examen Algèbre / Analyse | Convergence – Endomorphisme

Soient E l’espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal a 2 et m un nombre réel.
Pour tout P de E, on pose ${ u }_{ m }(P)=({ X }^{ 2 }-mX){ P }^{ ' }-2XP$ , où P’ désigne évidemment le
polynôme dérivé de P.
1. Montrer que ${ u }_{ m }$ est un endomorphisme de E et déterminer ses valeurs propres.
2. Montrer, sans calculer les sous—espaces propres, que pour m ≠ 0, Pendomorphisme ${ u }_{ m }$
est diagonalisable.
3. Montrer que uo n’est pas diagonalisable.

PROBLÈME
Le problème comporte deux parties largement indépendantes.

Dans tout ce qui suit, f est une fonction continue sur et on suppose qu’il existe une
constante a > 0 telle que l’on ait $|f(t)|\le at$ pour tout

Première partie

1. Montrer que l’intégrale généralisée $I=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { f(t) }{ { e }^{ t }-1 } }$ dt est convergente.

2. Montrer que pour tout entier $n\ge 1$ l’intégrale généralisée ${ u }_{ n }=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ f(t{ )e }^{ -nt } }$ dt est convergente.
3. Montrer que pour tout réel t > O on a
$\frac { f(t) }{ { e }^{ t }-1 } \le a$
4. Montrer que pour tout entier $p\ge 1$ , l’intégrale généralisée ${ I }_{ p }=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { f(t) }{ { e }^{ t }-1 } { e }^{ -pt } }$
convergente et que l’on a $|{ I }_{ p }|\le \frac { a }{ p }$
5. Montrer que pour tout entier $p\ge 1$ , on a $\sum _{ n=1 }^{ p }{ { u }_{ n } } =I-{ I }_{ p }$
6. En déduire que la série de terme général ${ u }_{ n }$ converge et que l’on a $\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { u }_{ n } } =I$
Deuxième partie
7. Montrer que l’intégrale généralisée ${ u }_{ n }=\int _{ 0 }^{ +\infty }{ f(t){ e }^{ -nt } }$ introduite a la question 2
Vériﬁe $|{ u }_{ n }|\le \frac { a }{ { n }^{ 2 } }$ pour tout $n\ge 1$
8. En deduire que le rayon de convergence de la serie entiere $\sum _{ n\ge 1 } \frac { { u }_{ n } }{ n! } { t }^{ n }$ est inﬁni.
Dans la suite, on note $rphi (t)$ la somme de cette série entière.
9. Pour tout entier $n\ge 1$ et tout réel $x\ge 1$ , on pose ${ g }_{ n }(x)=\frac { { u }_{ n } }{ n! } \int _{ 0 }^{ x }{ { t }^{ n } } { e }^{ -t }$ dt. Etablir, en la justiﬁant soigneusement, l’égalité
$\int _{ 0 }^{ x }{ \varphi (t){ e }^{ -t } } dt=\sum _{ n=1 }^{ +\infty }{ { g }_{ n } } (x)$
10. On rappelle que pour tout entier $n\ge 1$ , on a $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ { t }^{ n } } { e }^{ -t }dt=n!$ . En déduire la
majoration $|{ g }_{ n }(x)|\le \frac { a }{ { n }^{ 2 } }$ pour tout et tout
11. A l’aide de ce qui précède, justiﬁer la convergence de $\int _{ 0 }^{ +\infty }{ \varphi (t){ e }^{ -t } }$