Partiel Algèbre Bilinéaire | Base - Base canonique

Thèmes :

Questions de cours: Inégalité de Cauchy-Schwarz / Forme bilinéaire symétrique / Espace vectoriel / Orthogonal
Exercice 1: Espace vectoriel euclidien / Produit scalaire / Forme bilinéaire symétrique / Noyau / Forme quadratique dégénérée ou non dégénérée / Fonction positive / Base / Matrice diagonale /
Exercice 2: Forme quadratique dégénérée / Base / Noyau
Exercice 3: Espace vectoriel / Polynômes / Matrice / Base canonique / Orthonormalisation / Base orthonormale / Projection orthogonale / Distance / Vecteur directeur

Extrait :

Partiel Algèbre Bilinéaire | Base – Base canonique

Questions de cours

1. (a) Énoncer et prouver intégralité de Cauchy-Schwarz.
(b) Montrer que
(c) Dans quel cas a-t-on l’égalité?

2. Soit f une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel E. Soient
A et B deux parties de E.

(a) Montrer que l’orthogonal ${ A }^{ \bot }$ de A est un sous-espace vectoriel de E.

(b) Montrer que si A C B, a.lors ${ B }^{ \bot }\subset { A }^{ \bot }$
(C) Montrer que ${ A }^{ \bot }=Vect({ A }^{ \bot })$
(d) Montrer que $A\subset ({ A }^{ \bot }{ ) }^{ \bot }$
(e) Montrer que ${ A }^{ \bot }+{ B }^{ \bot }\subset (A\cap B{ ) }^{ \bot }$
Exercice 1.
Soit (E,<.,.>) un espace vectoriel euclidien de dimension n, a un

vecteur unitaire de E, k un nombre réel. On considère l’application f de
E X E dans R déﬁnie par :

f(x,y)=2+k,

où < v, w > désigne le produit scalaire de deux éléments v et w de E.
1. Vériﬁer que f est une forme bilinéaire symétrique.
2. Déterminer le noyau de f.
3. Discuter suivant les valeurs de k si f est dégénérée ou non dégénérée;
si f est positive.
4. Trouver une base où la matrice de f est diagonale et retrouver ainsi les
résultats précédents.

Exercice 2

Soit a un nombre réel et q : ℝ⁴ —> ℝ l’application déﬁnie par :

q(x,y,z,t) = ax² + 2axy + y² + 4zt — at²

pour tout (x, y,z,t) ∈ c⁴
1. Montrer que q est une forme quadratique.
2. Pour quelles valeurs de a la forme quadratique q est—elle dégénérée?
3. On suppose que la. forme quadratique q est dégénérée. Trouver une base
du noyau de q

Exercice 3.

Soient E = ℝ[X] l’espace vectoriel des polynômes a coefficients réels, et
pour n ∈ ℕ, ${ E }_{ n }$ le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Pour P et Q dans E, on pose :
$\phi (P,Q)=\int _{ -1 }^{ 1 }{ { t }^{ 2 } } P(t)Q(t)$ dt
1. Montrer que ¢ est. un produit scalaire sur E.
2. Ecrire la matrice de $\phi$ dans la base canonique de E₂
3. Construire une base orthonormale de E₂ par orthonormalisation de la.
base canonique de E₂
4. Soit F un sous—espace de dimension ﬁnie k de ${ E }_{ n },1\le k\le n$ et
$({ e }_{ i }{ ) }_{ 1\le i\le k }$