Partiel Algèbre Bilinéaire | Base – Base canonique

Thèmes :

Exercice 1: Forme quadratique / Vecteur / Base canonique / Forme non dégénérée / Base / Signature / Rang / Base orthogonale / Matrice associée
Exercice 2: Espace vectoriel / Continuité / Fonction polynôme / Produit scalaire / Intégrale / Famille libre / Famille orthogonale / Base canonique / Procédé d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt / Projeté orthogonal / Distance
Exercice 3: Espace vectoriel / Produit scalaire / Continuité

Exercice 1.
Soit λ un nombre réel et soit q la forme quadratique sur ℝ³ définie par :

q((x, y, z)) = x² + y² + 2z(x cosλ + y sinλ),

pour tout vecteur (x,y, z) ∈ ℝ³. On note (e₁,e₂,e₃) la base canonique de ℝ³
1. Ecrire la. matrice de q dans la base canonique ℝ³. Montrer que q est
non dégénérée.
2. Soit P la plan de ℝ³ engendré par e₁ et e₂. Trouver une base de

3. Quelle est la signature de q? Quel est le rang de q? Existe—t—il une base
Orthonormale pour q?

4. Trouver une base de ℝ³ orthogonale pour q, Quelle est la matrice associée à q dans cette base ?

Exercice 2.

soit E l’espace vectoriel sur ℝ des fonctions réelles définies continues sur
[-1, 1]. Pour tout n de ℕ, on pose et est. l’espace vectoriel des
fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n.

1 Montrer que l’expression définie sur E² par 2

définit un produit scalaire sur E.
2. Pour tout (n,p) ∈ {O, 1, 2}², déterminer
3 Montrer que {e₀, e₁, e₂} est une famille libre mais non orthogonale de E
4. Ecrire la matrice du produit scalaire de E restreint, à P₂ par rapport à la base canonique de P₂
5. Construire. par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt, une base
orthonormée {f₀,f₁,f₂} de P₂.
Soit p(e₃) le projeté orthogonal de e₃ sur P₂. Exprimer p(e₃) clans la
base {f₀,f₁,f₂} de P₂ et. calculer la distance de e₃ à P₃.

Exercice 3.
On considère un espace vectoriel normé réel E et l’on suppose que, pour
tous vecteurs x,y ∈ E, on a :

||x+y||²+||x-y||²=2(||x||²-||y||²)

Soit f : E X E —> ℝ l’application définie par :

pour tous x, y ∈ E.

1.Montrer que,pour tous x,y ∈ E,f(x,y) = f(y,x)
2. Montrer que, pour tous x,y ∈ E,
3. Calculer ||x₁+x₂+y||²+||x₁-x₂-y||² et ||x₁-x₂-y||²+||x₁+x₂-y||².En déduire que pour tous x₁,x₂,y ∈ E,f(x₁+x₂,y)=f(x₁,y)+f(x₂,y)
4. Soient x,y ∈ E

(a) Montrer que, pour tous n ∈ ℕ, f(nx,y) = nf(x, y)
(b) Montrer que, pour tous p ∈ ℤ, f(px,y) = pf(x, y)
(b) Montrer que, pour tous r ∈ ℚ, f(rx,y) = rf(x, y)
(d) Montrer que l’application

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