Examen Algèbre Bilinéaire | Espace euclidien - Méthode de Gauss

Thèmes :

Exercice 1: Base canonique / Forme bilinéaire symétrique / Forme canonique / Méthode de Gauss / Rang / Signature / Forme bilinéaire non dégénérée
Exercice 2: Produit scalaire / Endomorphisme / Matrice / Base canonique / Isométrie / Hyperplan /
Exercice 3: Espace euclidien / Isométrie / Noyau / Image / Sous espace vectoriel / Dimension / Vecteur / Projeté orthogonal / Limite
Exercice 4: Polynôme / Produit scalaire / Famille libre / Espace vectoriel / Procédé d’orthonormalisation de Schmidt / Base orthonormée / Projection orthogonale /

Extrait :

Examen Algèbre Bilinéaire | Espace euclidien – Méthode de Gauss

Exercice 1.

On considère la base canonique {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅} de ℝ⁵ et on écrit tout
élément x ∈ ℝ⁵ sous la forme $x=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i } } { e }_{ i }$ Soit l’application b: ℝ⁵×ℝ⁵ $\rightarrow$ ℝ
déﬁnie par :

$b(x,y)={ x }_{ 1 }{ y }_{ 1 }+{ \beta x }_{ 1 }{ y }_{ 1 }+{ \beta x }_{ 2 }{ y }_{ 1 }-({ \alpha }^{ 2 }-2\alpha \beta ){ x }_{ 2 }{ y }_{ 2 }+\beta { x }_{ 3 }{ y }_{ 3 }+\frac { \alpha -\beta }{ 2 } { x }_{ 4 }{ y }_{ 5 }+\frac { \alpha -\beta }{ 2 } { x }_{ 5 }{ y }_{ 4 }$

où α,β sont deux paramètres réels.

1. Vériﬁer que b est une vforme bilinéaire symétrique. Ecrire la forme qua-
dratique associée q.

2. Donner une décomposition de q sous forme canonique, selon la méthode
de Gauss, en précisant aussi une base q-orthogonale.

3. Déterminer, en fonction de α,β, le rang et la signature de q. Pour

quelles valeurs de α,β la forme bilinéaire b est-elle non dégénérée ?

Exercice 2.
On munit ℝ⁴ du produit scalaire usuel. Soit l’endomorphisme de ℝ⁴ dont
la matrice dans la base canonique est :

$A=\frac { 1 }{ 5 } \left( \begin{matrix} 1 & -2 & -4 & -2 \\ 2 & 1 & -2 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & -4 & 2 & 1 \end{matrix} \right)$

1. Montrer que f est une isométrie.

2. Soit H l’hyperplan de ℝ⁴ d’équation x — 3y + z — t = 0. Montrer que
f(H) est un hyperplan de ℝ⁴. Trouver une équation de f(H)

Exercice 3.
Soient E un espace euclidien et l‘ une isométrie de E. On pose g = f – ${ Id }_{ E }$
et pour tout entier n ≥ 1, ${ f }_{ n }=\frac { 1 }{ n } ({ Id }_{ E }+f+...+{ f }^{ n-1 })$
1. Montrer que le noyau et l’image de g sont des sous-espaces vectoriels
de E.
2. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel A de E, on a $({ A }^{ \bot }{ ) }^{ \bot }$ = A
3. Montrer que Kerg ⊂ ${ \left( Img \right) }^{ \bot }$
4. A l’aide des dimensions, montrer que Kerg = ${ \left( Img \right) }^{ \bot }$
5. Soit x un vecteur de E. On note y le projeté orthogonal de x sur Kerg.
(a) Montrer que x — y ∈ Img.
(b) Montrer que pour tout entier n ≥ 1, ${ f }^{ n }(y)=y$
(c) Montrer qu’il existe un vecteur u ∈ E tel que, pour tout entier
n ≥ 1, on ait :

${ f }_{ n }(x)=y+\frac { 1 }{ n } \left( { f }^{ n }(u)-u \right)$

(d) Montrer que $\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left\| { f }_{ n }(x)-y \right\| } }$ = 0
(e) En déduire que l’on a: $\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { { f }_{ n } } } (x)$ = y

Exercice 4.

Soit E l‘espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à
trois. Pour tout n ∈ {0,1, 2,3}, on pose ${ e }_{ n }(x)={ x }^{ n }$ . Pour (P, Q) e E², on pose :

$f(P,Q)=\int _{ -1 }^{ 1 }{ (1+{ t }^{ 2 } } )P(t)Q(t)$ dt

1. Montrer que f est un produit scalaire sur E…

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