Examen Algèbre Bilinéaire | Base orthogonal – Forme bilinéaire

Thèmes :

Exercice 1: Forme bilinéaire / Fonction symétrique / Fonction antisymétrique
Exercice 2: Espace vectoriel / Base canonique / Matrice / Fonction définie positive / Produit scalaire / Vecteurs orthogonaux
Exercice 3: Base canonique / Forme bilinéaire symétrique / Forme quadratique / Décomposition sous forme canonique / Rang / Signature
Exercice 4: Espace vectoriel / Continuité / Polynôme / Espace euclidien / Produit scalaire / Matrice / Base canonique / Base orthogonale

Extrait :

Exercice 1
Soit E un R- espace vectoriel. On désire montrer qu’une forme bilinéaire f définie sur E x E et vérifiant la condition suivante est soit antisymétrique, soit symétrique. (*)
1) Soit f une forme bilinéaire définie sur E x E telle que f(x,x)=0 pour tout x appartenant à E. Montrer que f est antisymétrique, c’est à dire que l’on a f(y,x)=-f(x,y) pour tous (x,y) appartenant à E x E.
2) Soit f une forme bilinéaire définie sur E x E et vérifiant la condition(*). On suppose qu’il existe z_0 appartenant à E tel que f(z_0,z_0) soit différent de 0.
a) Soit x appartenant à E.On pose a=f(z_0,x) et b=f(z_0,z_0). Montrer que f(z_0,bx-az_0)=0. En déduire que f((z_0,x) et b=f(x,z_0).
b)Soit (x,y) appartenant à E x E. Montrer qu’il existe d appartenant à R tel que f(z_0,dz_0+y) soit différent de 0, puis qu’il existe c appartenant à R tel que f(cz_0+x,dz_0+y)=0 ( one ne demande pas de calculer c et d) En déduire que f(x,y)=f(y,x)
3) En conclure que si f est une forme bilinéaire définie sur E x E et vérifiant la condition (*), alors f est soit antisymétrique, soit symétrique.

Exercice 2
Soient E le R- espace vectoriel R^3 et B={e_1,e_2,e_3} sa base canonique. On note f l’application bilinéaire symétrique définie sur E en posant pour tout élément (x,y) appartenant à E avec x=(x_1,x_2,x_3) et y(y_1,y_2,y_3)
f(x,y)=x_1y_1+2x_2y_2-x_1y_2-x_2y1-x_1y_3-x_3y_1

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