Examen Algèbre Bilinéaire | Base canonique – Sous espace vectoriel

Thèmes :

Exercice 1: Base canonique / Forme quadratique / Forme polaire / Matrice / Noyau / Diagonalisation / Méthode de Gauss / Base orthogonale / Signature / Rang / Forme quadratique dégénérée / Forme quadratique positive / Espace euclidien / Vecteurs isotropes / Sous espace vectoriel
Exercice 2: Endomorphisme / Espace euclidien / Matrice orthogonale / Valeur Propre / Base orthogonale / Vecteur propre / Rotation / Symétrie orthogonale
Exercice 3: Espace vectoriel / Polynôme / Projection orthogonale / Produit scalaire / Polynôme unitaire / Combinaison linéaire / Procédé de Gram-Schmidt / Forme quadratique / Forme bilinéaire symétrique / Endomorphisme symétrique / Valeur propre / Vecteur propre /

Extrait :

Exercice 1 (9 points)
Soient E = ℝ³, B = (e₁, e₂, e₃) sa base canonique et (a,b) ∈ ℝ². On considère la
forme quadratique q définie sur E par : ∀(x₁, x₂, x₃) ∈ E,

q((x₁, x₂, x₃)) =

l. Déterminer la forme polaire f sur E associée à q et donner la matrice de q dans la base B
2. Déterminer le noyau N de f.
3. Diagonaliser q par la. méthode de Gauss. En déduire une base B’ = (f₁, f₂, f₃) de
E orthogonale pour q. Quelle est la matrice associée à q dans cette base?
4. Quelle est la signature de q? Quel est le rang de q?
5. Pour quelles valeurs de a et b :
(a) la forme quadratique q est—elle dégénérée? positive ?
(b) l’espace E est-il euclidien pour q?
6. Soit maintenant a = b = 0.
(a) Soit F le sous—espace de E engendré par e₁ + e₂ + e₃. Déterminer l’orthogonal
de F pour q.
(b) Montrer que q est le produit de deux formes linéaires linéairement indépendantes.
(C) Déterminer l’ensemble des vecteurs isotropes de q Est-il un sous—espace vectoriel de E ?

Exercice 2 (5 points)

Soit f l’endomorphisme de l’espace euclidien orienté usuel ℝ³ dont la matrice dans
la base canonique est :

1 Montrer que A est une matrice orthogonale.
2. Montrer que f a une valeur propre et une seule que l‘on précisera.
3. Trouver une base orthonormale (u₁,u₂, u₃) de ℝ³ telle que u₁ soit un vecteur propre de f
4. Quelle est matrice de f dans la base (u₁, u₂, u₃) ?

5, Montrer qu’il existe une unique rotation r et une unique symétrie orthogonale s
par rapport à un plan telles que f = r o s = s 0 r. Préciser l’axe et la mesure de r

Exercice 3 (9 points)

Soit E le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour tout n ∈ ℕ, on
note le sous-espace vectoriel de E des polynômes nul ou de degré inférieur ou égal à
n. Soit β : E X E ℝ l’application définie par :

β(P, Q) = dt pour tous P,Q ∈ E

Partie A
Soit la projection orthogonale de E sur . Posons P₀ = 1 et si n ≥ 1

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