Licence de Mathématiques – Première année – L1 – Semestre 1 et 2

Pour avoir un point de vue global de la première année de licence de Mathématiques, voici les différentes notions enseignées au semestre 1 et au semestre 2 de la licence de Mathématiques.

Semestre 1:

Fonctions continues

– Théorème des valeurs intermédiaires ; énoncé du théorème ”toute fonction continue sur un segment a un maximum et un minimum”
– Théorème sur les fonctions et les suites croissantes majorées
– Fonction continue strictement monotone et continuité de la bijection réciproque fonctions Arc sinus et Arc tangente.

Fonctions dérivables

– Dérivée et tangente en un point
– Inégalité de la moyenne
– Dérivée de la réciproque d’une fonction strictement monotone dérivable
– Notation sur les fonctions puissance, logarithme et exponentielle, fonctions sinus et cosinus hyperbolique
– Exemples d’étude de suites un = f(n)

Fonctions de deux variables réelles

– Dérivée partielle ;
– Etude de surface z = f(x, y) par sections planes ; vecteur gradient ; plan tangent en un point.

Notions simples de dénombrement et de cardinalité.

– Fonctions et ensembles (opérations ensemblistes, injection, surjection, bijection), Implication, équivalence, contraposition ;
– Raisonnement par contraposition, par l’absurde ; méthodes pour démontrer l’équivalence de plusieurs énoncés ; raisonnement par récurrence ; recherche de démonstration et recherche de contre-exemple.
– Equipotence, cardinalité d’un ensemble, combinatoire: principe des tiroirs, principe d’inclusion-exclusion; Théorème de Cantor.

Semestre 2:

Espace vectoriel

– Espace vectoriel ; sous-espace vectoriel, intersection de sous espaces,sous-espace engendré, partie libre, base (finie) ; coordonnées d’un vecteur dans une base
– Théorème de la base incomplète ; dimension (finie) d’un espace vectoriel ;
– Dimension d’un sous-espace d’un espace vectoriel de dimension finie ; hyperplan
– Sous-espaces supplémentaires.

Applications linéaires

– Endomorphisme ; isomorphisme d’espaces vectoriels
– Applications linéaires, Forme linéaire et projection
– Noyau, image d’une application linéaire ; rang d’une application linéaire ; application linéaire surjective, injective
– Théorème de la dimension.

Matrices

– Matrice ; Système d’équations linéaires
– Matrice d’une application linéaire dans des bases
– Somme et produit de matrices, matrice transposée
– Rang d’une matrice, rang de la transposée ;
– Matrice inversible, inverse d’un produit
– Matrice de passage, formule du changement de base pour les vecteurs, formule du changement de base pour les endomorphismes.

Formule de Taylor

– Démonstration du théorème de Rolle; théorème des accroissements finis
– Formule de Taylor

Développements limités

– Fonction négligeable devant une autre en un point
– Développement limité à l’ordre n d’une fonction en un point,
– Existence du développement limité à l’ordre n pour une fonction ayant une dérivée n-ième ;
– Développement limité d’une primitive ; développements limités au point 0
– Calcul des développements limités :développement limité d’une somme, d’un produit, d’une composée ;

Courbes paramétrées planes

– Vecteur tangent, étude locale en un point régulier ou singulier, asymptote Intégrales
– Primitive, toute fonction continue sur un intervalle a des primitives (admis)
– Calcul de primitives : intégration par parties et changement de variables
– Primitives de fonctions rationnelles
– Primitives de ”fonctions polynômes ou rationnelles en sinus et cosinus”.

Equations différentielles linéaires

– Méthode de variation de la constante ;
– Equation linéaire du second ordre à coefficients constants et second membre de la forme P(x) exp(ax)
– exemples de résolution d’équations différentielles y0 = f(y).

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