Partiel Analyse | Continuité – Suite convergente

Thèmes :

Exercice 1: Étude de fonction / Limites / Continuité.
Exercice 2: Petit problème sur les fonctions.
Exercice 3: Moyennes harmonique et arithmétique / Suites convergentes
Exercice 4: Problème sur la continuité.

Extrait :

Exercice 1
Soit f l’application de ℝ \ {-1,1} dans ℝ d¶e¯nie par

1. La fonction f est-elle continue en 0 ?
2. Calculer et
3. Existe-t-il une fonction g d¶e¯nie et continue sur ℝ et qui est ¶egale µa f sur ℝ \{-1,1} ? Si oui, la pr¶eciser.
Exercice 2
Soient f et g deux fonctions de [0,1] dans ℝ, continues et telles que f(0) = g(1) = 0 et f(1) = g(0) = 1.
Montrer que
∀⋋∈ , ∃x∈[0,1],f(x)=⋋g(x)
Exercice 3
Moyennes harmonique et arithm¶etique
1. Montrer que, pour tout (a,b) ∈ tel que 0 < a < b, on a : $latex \frac { 2ab }{ a+b } \frac { a+b }{ 2 }$ 2. Soit $latex ({ u }_{ 0 },{ v }_{ 0 })$ ∈ $latex {ℝ}^{2}$ tel que $latex 0<{ u }_{ 0 }<{ v }_{ 0 }$ . On d¶e¯nit, par r¶ecurrence, les suites $latex ({ u }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$ et $latex ({ v }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$ par : $latex { u }_{ n+1 }=\frac { 2{ u }_{ n }{ v }_{ n } }{ { u }_{ n }+{ v }_{ n } }$, $latex { u }_{ n+1 }=\frac { { u }_{ n }+{ v }_{ n } }{ 2 }$ (a) Montrer que les suites $latex ({ u }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$ et $latex ({ v }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$ sont bien d¶e¯nies (c'est-µa-dire que $latex { u }_{ n }+{ v }_{ n }\neq 0$ pour tout n ∈ N) et que les suites $latex ({ u }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$ et $latex ({ v }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$ sont convergentes (dans ℝ). (b) Montrer que $latex \lim _{ n\longrightarrow +\infty }{ { u }_{ n } } =\lim _{ n\longrightarrow +\infty }{ { v }_{ n } }$ (c) V¶eri¯er que la suite $latex ({ u }_{ n }{ v }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$ est constante. (d) En d¶eduire la limite commune des suites $latex ({ u }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$ et $latex ({ v }_{ n }{ ) }_{ n∈ℕ }$. Exercice 4 Soit f une fonction continue de [0,1] dans ℝ. 1. Montrer que pour tout t ∈ [0,1], l'ensemble $latex \{ s∈[0,1]|f(s)=\frac { f(0)+f(t) }{ 2 } \}$ est non vide. Pout t ∈ [0,1], on pose $latex \varphi (t)=inf\{ s∈[0,1]|f(s)=\frac { f(0)+f(t) }{ 2 } \}$ 2. Montrer que $latex \varphi (t)∈[0,1]$ et que $latex f(\varphi (t))=\frac { f(0)+f(t) }{ 2 }$ 3. Montrer que si f est strictement croissante, l'application ' ainsi d¶e¯nie de [0,1] dans [0,1] est continue. 4. Donner un exemple de fonction f pour laquelle la fonction ' n'est pas continue.

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