Partiel Analyse | Bijection – Continuité

Thèmes :

Exercice 1: Continuité / Dérivabilité
Exercice 2: Étude de fonction / Classe d’une fonction
Exercice 3: Étude de fonction / Composée de fonctions / Bijection

Extrait :

Exercice 1
Montrer que f est continue en 0. En déduire que f est continue sur R.
f est-elle dérivable en 0 ?

Exercice 2

EXERCICE 1 (3 pts)
On considère la fonction f définie par :
1. Montrer que est continue en 0. En déduire que est continue sur ℝ.
2. f est-elle dérivable en 0 ?
EXERCICE 2 (7 pts)
1. On considère la fonction f telle que
a. Montrer que f est dérivable en 0. Et donner .
b. Justifier que f est de classe sur [0;1[ .
c. Dresser le tableau de variations de f . On y fera apparaître les différentes limites et la valeur
de f(e) .
2. Soit la fonction g , définie sur par
a. Déterminer la limite de g en 1.
b. Déterminer la position relative de la courbe représentative de g par rapport à celle de f .
EXERCICE 3 (5 pts)
Soit f la fonction définie sur ℝ par
1. Montrer que f est la composée g o h de deux fonctions g et h à déterminer.
2. Construire les tableaux de variations de g et h . Préciser les limites de h aux bornes de son
ensemble de définition.
3. En déduire le tableau de variations de f .
4. Montrer que f réalise une bijection de sur un ensemble que l’on précisera.
5. Bonus (1 pt): Donner le tableau de variations de 1 f et déterminer 1 f .
EXERCICE 4 (5 pts)
On pose
1. Résoudre l’équation P z 0 .
2. En déduire les solutions de l’équation

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