Partiel Analyse | Accroissement fini - Espace vectoriel

Thèmes :

Question de cours: Voisinage / Composée de fonctions / Dérivabilité
Exercice 1: Développement Limité / Asymptotes
Exercice 2: Espace vectoriel / Fonction injective / Noyau / Image
Exercice 3: Etude de fonction / Suites / Accroissements finis

Extrait :

Partiel Analyse | Accroissement fini – Espace vectoriel

Exercice 1 : 5 points
1. Donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction $f:x\longmapsto \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }$
En déduire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction arctan .
2. Puis montrer que le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la
fonction $g:x\longmapsto { e }^{ arctanx }$ est $g(x)=1+x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } +\o ({ x }^{ 3 })$
En déduire une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse 0, puis
la position de la courbe par rapport à cette tangente g
3. Donner le développement limité à l’ordre 3 en +∞ de la fonction (on
rappelle que ∀x > 0,arctanx + arctan $\frac { 1 }{ x } =\frac { \pi }{ 2 }$
En déduire une équation de l’asymptote à la courbe de g en +∞ , et la position de
la courbe par rapport à cette asymptote.
Exercice 2 : 6 points
On définit et $D=vect((2,0,1))$ .
1. Montrer que P est un sous espace vectoriel de et donner une base de P
2. Montrer que .
3. On considère
a. Montrer que f est une application linéaire.
b. Déterminer une base de Ker(f) . f est-elle injective ?
c. Justifier que Im( f ) = P .
d. BONUS : f est-il le projecteur de sur P parallèlement à D?
Exercice 3 : 10 points
On considère la fonction g définie sur ℝ par $g(x)={ e }^{ x }-x$ . Pour chaque entier naturel
n ≥ 2 , on considère l’équation notée $({ E }_{ n }):g(x)=n$ , d’inconnue le réel x
a. Dresser le tableau des variations de la fonction en précisant les limites
aux bornes du domaine de définition.
g
b. Montrer que l’équation $({ E }_{ n })$ admet exactement deux solutions, l’une
strictement négative notée ${ \alpha }_{ n }$ et l’autre strictement positive notée ${ \beta }_{ n }$
.
2. Dans cette question, on note la suite définie par
a. On rappelle que ${ \alpha }_{ 2 }$ est le réel strictement négatif obtenu à la question
1.b. lorsque n = 2. Calculer g (−1) et g (−2) puis montrer que
$-2\le { \alpha }_{ 2 }\le -1$
b. Justifier que 2
${ e }^{ { \alpha }_{ 2 } }-2={ \alpha }_{ 2 }$ . En déduire par récurrence sur l’entier que
pour tout entier naturel
$k:{ \alpha }_{ 2 }\le { u }_{ k }\le -1$
c. En utilisant l’inégalité des accroissement finis appliquée à la fonction g ,
montrer que pour tous réels $a\le b\le -1,0\le { e }^{ b }-{ e }^{ a }\le \frac { 1 }{ e } (a-b)$
d. Montrer que pour …