Exercices Analyse - Suites + Correction | Convergence - Fonction croissante

Thèmes :

Partie 1 – ( 7 exercices ): Convergence / Suite bornée / Suite stationnaire / Limite / Théorème des valeurs intermédiaires / Fonction croissante
Partie 2 – ( 7 exercices ): Limite / Suite / Suite récurrente

Extrait :

Exercices Analyse – Suites + Correction | Convergence – Fonction croissante

1 Convergence
Exercice 1
Montrer que toute suite convergente est bornée.
Indication H
Exercice 2
Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire à partir d’un certain rang.
Indication H
Exercice 3
Montrer que la suite définie par
${ u }_{ n }=(-1{ ) }^{ n }+\frac { 1 }{ n }$
n’est pas convergente.
Indication H
Exercice 4
Soit une suite de ℝ. Que pensez-vous des propositions suivantes :
Si $({ u }_{ n }{ ) }_{ n }$ converge vers un réel ` alors $({ u }_{ 2n }{ ) }_{ n }$ et $({ u }_{ 2n+1 }{ ) }_{ n }$ convergent vers `.
Si $({ u }_{ 2n }{ ) }_{ n }$ et $({ u }_{ 2n+1 }{ ) }_{ n }$ sont convergentes, il en est de même de (un)n.
Si $({ u }_{ 2n }{ ) }_{ n }$ et $({ u }_{ 2n+1 }{ ) }_{ n }$ sont convergentes, de même limite `, il en est de même de $({ u }_{ n }{ ) }_{ n }$ .
Indication H
Exercice 5
Soit q un entier au moins égal à 2. Pour tout n ∈ N, on pose ${ u }_{ n }=cos\frac { 2n\pi }{ q }$
1. montrer que ${ u }_{ n+q }={ u }_{ n }$ pour tout n ∈ N.
2. Calculer ${ u }_{ nq }$ et ${ u }_{ nq+1 }$ . En déduire que la suite ${ u }_{ n }$ n’a pas de limite.
Indication H
Exercice 6
Soit ${ H }_{ n }=1+\frac { 1 }{ 2 } +...+\frac { 1 }{ n }$
1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n > 0 :
$\frac { 1 }{ n+1 } \le ln(n+1)-ln(n)\le \frac { 1 }{ n }$
2. En déduire que $ln(n+1)\le { H }_{ n }\le ln(n)+1$ .
3. Déterminer la limite de ${ H }_{ n }$ .
4. Montrer que ${ u }_{ n }={ H }_{ n }-ln(n)$ est décroissante et positive.
5. Conclusion ?
1
Indication H
Exercice 7
On considère la fonction f : définie par
$f(x)=\frac { { x }^{ 3 } }{ 9 } +\frac { 2x }{ 3 } +\frac { 1 }{ 9 }$
et on définit la suite $({ x }_{ n }{ ) }_{ n\ge 0 }$ en posant ${ x }_{ 0 }=0$ et ${ x }_{ n+1 }=f({ x }_{ n })$ pour n ∈ ℕ.
1. Montrer que l’équation ${ x }^{ 3 }-3x+1=0$ possède une solution unique $\alpha$ ∈ ]0,1/2[.
2. Montrer que l’équation f(x) = x est équivalente à l’équation ${ x }^{ 3 }-3x+1=0$ et en déduire que a est
l’unique solution de l’équation f(x) = x dans l’intervalle [0,1/2]:
3. Montrer que et que la fonction f est croissante sur En déduire que la suite ${ (x }_{ n })$ est
croissante.
4. Montrer que et en déduire que pour tout
5. Montrer que la suite converge vers

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