Exercices Analyse – Propriétés de R + Correction | Borne supérieure – Majorant

Thèmes :

Partie 1 – ( 4 exercices ): Rationnel / Irrationnel
Partie 2 – ( 5 exercices ): Maximum / Minimum / Borne supérieure / Majorant / Minorant / Sup / Inf
Partie 3 – ( 1 exercice ): Fonction f(x+y)=f(x)+f(y)

Extrait :

1 Les rationnels ℚ
Exercice 1
1. Démontrer que si r ∈ ℚ et x ∉ ℚ alors r+x ∉ ℚ et si r ≠ 0 alors r.x ∉ ℚ.
2. Montrer que
∉ ℚ,
3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.
Indication H
Exercice 2
Montrer que est irrationnel.
Indication H
Exercice 3
1. Soit = 0,19971997…1997(n fois). Mettre sous la forme p
q avec p,q ∈ .
2. Soit M = 0;199719971997…… Donner le rationnel dont l’écriture décimale est M.
3. Même question avec. P=0,11111…+0,22222…+0,33333…+0,44444…+0,55555…+0,66666…+
0,77777…+0,88888…+0,99999…
Indication H
Exercice 4
Soit . On suppose que tous les ai sont des entiers.
1. Montrer que si p a une racine rationnelle
alors divise et divise .
2. On considère le nombre
3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme
de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel.
Indication H
2 Maximum, minimum, borne supérieure…
Exercice 5
Le maximum de deux nombres x,y (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x,y). De même on notera
min(x,y) le plus petit des deux nombres x;y. Démontrer que :

et
Trouver une formule pour max(x,y,z).
Indication H
Exercice 6
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de en posant si n est
pair et sinon.
Indication H
Exercice 7
Déterminer (s’ils existent). les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand
élément, le plus petit élément des ensembles suivants :
[0,1]∩Q , ]0,1[∩Q , ℕ,

Exercice 8
Soient A et B deux parties bornées de ℝ. On note A+B = {a+b|(a,b) ∈ A×B}.
1. Montrer que supA+supB est un majorant de A+B.
2. Montrer que sup(A+B) = supA+supB.
Indication H
Exercice 9
Soit A et B deux parties bornées de ℝ. Vrai ou faux ?
1. A ⊂ B => supA supB,
2. A ⊂ B => infA infB,
3. sup(A∪B) = max(supA,supB),
4. sup(A+B) Aperçu :