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Exercices Analyse – Dérivabilité + Correction | Classe d’une fonction – Extremum local

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par Erwin BORD

Thèmes :

Partie 1 – ( 4 exercices ): Fonction dérivable / Fonction prolongeable par continuité / Fonction continue / Minimum
Partie 2 – ( 4 exercices ): Théorème de Rolle / Théorème des accroissements finis / Polynôme
Partie 3 – ( 4 exercices ): Extremums / Extremum local / Théorème de Rolle / Fonction dérivable / Relation de récurrence / Classe d’une fonction

Extrait :

Exercices Analyse – Dérivabilité + Correction | Classe d’une fonction – Extremum local

1 Calculs
Exercice 1
Déterminer a,b ∈ ℝ de manière à ce que la fonction f définie sur ℝ ^{ + } par :
f(x)= \sqrt { x } si 0 \lex \le1 et f(x)= a{ x }^{ 2 }+bx+1 si x > 1
soit dérivable sur ℝ _{ + }^{ * }
Exercice 2
Soit f:ℝ ^{ * }\rightarrow ℝ définie par f(x)= { x }^{ 2 }\sin { \frac { 1 }{ x }} Montrer que f
est prolongeable par continuité en 0; on note encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur ℝ mais que f ^{ ' } n’est pas continue en 0.
Exercice 3
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
{ f }_{ 1 }(x)={ x }^{ 2 }\cos { \frac { 1 }{ x }}, si \quad x\quad \neq \quad 0 ; { f }_{ 1 }(0)=0
{ f }_{ 2 }(x)=\sin { x\sin { \frac { 1 }{ x }}}, si \quad x\quad \neq \quad 0 ; { f }_{ 2 }(0)=0
{ f }_{ 3 }(x)= \frac { |x|\sqrt { { x }^{ 2 }-2x+1 } }{ x-1 }, si \quad x\quad \neq \quad 0; { f }_{ 3 }(0)=0
Exercice 4
Soit n ≥ 2 un entier fixé et f:ℝ ^{ + } = [0,+∞[→ℝ la fonction définie par la formule suivante :
f(x)= \frac { 1+{ x }^{ n } }{ (1+x{ ) }^{ n }}, x\ge 0
1. (a) Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer f(x) pour x ≥ 0.
(b) En étudiant le signe de f ^{'}(x) sur ℝ , montrer que f atteint un minimum sur ℝ ^{+} que l’on déterminera.
2. (a) En déduire l’inégalité suivante :
(1+x{ ) }^{ n }\le 2{ x }^{ n-1 }(1+{ x }^{ n }), ∀x ∈ ℝ ^{+}.
(b) Montrer que si x ∈ ℝ ^{ + } et y ∈ ℝ ^{ + } alors on a
(1+x{ ) }^{ n }\le 2{ x }^{ n-1 }({ x }^{ n }+{ y }^{ n })
2 Théorème de Rolle et accroissements finis
Exercice 5
Montrer que le polynôme
{ X }^{ n }+aX+b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles.
Exercice 6
Montrer que le polynôme { P }_{ n } défini par
{ P }_{ n }(t)=[(1-{ t }^{ 2 }{ ) }^{ n }{ ] }^{ (n) }
est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [-1,1]
Exercice 7
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction
f(x)= \alpha { x }^{ 2 }+\beta x+\gamma
sur l’intervalle[a,b] préciser le nombre “c” de]a,b[. Donner une interprétation géométrique
Exercice 8
Soient x et y réels avec 0 < x < y. 1. Montrer que $latex x<\frac { y-x }{ lny-lnx }$ Aperçu :

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