Exercices Analyse – Calculs d’intégrales + Correction | Aire – Application croissante

Thèmes :

Partie 1 – ( 7 exercices ): Intégrale / Fonction continue / Fonction dérivable / Fonction intégrable / Intervalle fermé borné / Somme de Riemann – Darboux / Intégrable au sens de Riemann / Continuité en un point / Fonction continue positive / Sup / Limites / Application croissante
Partie 2 – ( 3 exercices ): Primitives
Partie 3 – ( 3 exercices ): Fonction positive / Fonction périodique / Fonction paire / Fonction impaire / Fonction dérivable / Ensemble de définition / Limite
Partie 4 – ( 4 exercices ): Intégrales / Intégrales de Wallis / Équivalence / Majoration
Partie 5 – ( 1 exercice ): Calculs d’aires / Courbe
Partie 6 – ( 1 exercice ): Limites de suites / Intégrales / Limites

Extrait :

Calculs d’intégrales
1 Utilisation de la définition
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur [0,3] par
1. Calculer dt
3. Montrer que F est une fonction continue sur [0,3]. La fonction F est-elle dérivable sur [3,0]?
Exercice 2
Montrer que les fonctions définies sur ℝ et ,
sont intégrables surtout intervalle fermé bornéde ℝ.En utilisant les sommes de Riemann,calculer les intégrales
et
Exercice 3
Calculer l’intégrale de →ℝ comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants :
1. et sur et
2. sur [a,b] et
3.
Exercice 4
1.
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
2.g:[0,1] ℝ g(x)=
3.h:[0,1] ℝ
4.k:[0,1] ℝ
Exercice 5
Soit f:[a,b] ℚ une fonction intégrable sur [a,b] (a0$
Montrer que . En déduire que si f est une fonction continue positive sur [a,b] telle que alors f est identiquement nulle.
2. On suppose que f est continue sur [a,b], et que . Montrer qu’il existe c tel que f(c) = 0.
3. Application : on suppose que f est une fonction continue sur [0,1],telle que . Montrer qu’il existe d ∈ [0,1] tel que f(d) = d.
Exercice 6
Soit f: [a,b] ℝ continue, positive; on pose . Montrer que

Exercice 7
Soit: f:[0,1] ℝ une application strictement croissante telle que f(0) = 0, f(1) = 1.Calculer:

2 Calculs de primitives
Exercice 8
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
a) b)

Aperçu :