Exercices Analyse - Calculs d'intégrales + Correction | Aire - Application croissante

Thèmes :

Partie 1 – ( 7 exercices ): Intégrale / Fonction continue / Fonction dérivable / Fonction intégrable / Intervalle fermé borné / Somme de Riemann – Darboux / Intégrable au sens de Riemann / Continuité en un point / Fonction continue positive / Sup / Limites / Application croissante
Partie 2 – ( 3 exercices ): Primitives
Partie 3 – ( 3 exercices ): Fonction positive / Fonction périodique / Fonction paire / Fonction impaire / Fonction dérivable / Ensemble de définition / Limite
Partie 4 – ( 4 exercices ): Intégrales / Intégrales de Wallis / Équivalence / Majoration
Partie 5 – ( 1 exercice ): Calculs d’aires / Courbe
Partie 6 – ( 1 exercice ): Limites de suites / Intégrales / Limites

Extrait :

Exercices Analyse – Calculs d’intégrales + Correction | Aire – Application croissante

Calculs d’intégrales
1 Utilisation de la déﬁnition
Exercice 1
Soit f la fonction déﬁnie sur [0,3] par $f\left( x \right) =\begin{cases} -1 \\ 1 \\ 3 \end{cases}\\$
1. Calculer $\int _{ 0 }^{ 3 }{ f\left( t \right) }$ dt
3. Montrer que F est une fonction continue sur [0,3]. La fonction F est-elle dérivable sur [3,0]?
Exercice 2
Montrer que les fonctions déﬁnies sur ℝ $f\left( x \right) =x,g(x)\quad =\quad { x }^{ 2 }$ et $h\left( x \right) ={ e }^{ x }$ ,
sont intégrables surtout intervalle fermé bornéde ℝ.En utilisant les sommes de Riemann,calculer les intégrales
$\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x \right) dx,\int _{ 1 }^{ 2 }{ g\left( x \right)dx }}$ et $h\left( x \right) ={ e }^{ x }$
Exercice 3
Calculer l’intégrale de $\int { [a,b] }$ →ℝ comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants :
1. $f\left( x \right) =\sin { x }$ et $f\left( x \right) =\cos { x }$ sur $\left[ 0,\frac { \pi }{ 2 }\right]$ et ${ x }_{ k=\frac { K\pi }{ { 2 }_{ n } }}$ $k=0,1,....,n.$
2. $g\left( x \right) =\frac { 1 }{ x }$ sur [a,b] et ${ x }_{ k }=a{ q }^{ k },k=0,1,...,n$
3. $h\left( x \right) ={ \alpha }^{ x }\quad sur\quad [a,b] et\quad { x }_{ k }=\alpha +(b-a),\frac { k }{ n } ,k=0,1,...,n$
Exercice 4
1. $f\left( x \right) =[x]\quad sur\quad [0,2]$
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
2.g:[0,1] $\rightarrow$ ℝ g(x)= $\begin{cases} [\frac { 1 }{ x } ] \\ 1 \end{cases}$ $\quad \begin{matrix} si \\ si \end{matrix}$
3.h:[0,1] $\rightarrow$ ℝ $h\left( x \right)=\begin{cases} \frac { 1 }{ x } \sin { (\frac { 1 }{ x } ) } \\ 1 \end{cases}$
4.k:[0,1] $\rightarrow$ ℝ ${ k }_{ 1 }(x)=\begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases}\begin{matrix} si\quad x\quad \in \\ si\quad x\quad \in \end{matrix}$
Exercice 5
Soit f:[a,b] $\rightarrow$ ℚ une fonction intégrable sur [a,b] (a0$
Montrer que $\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right)} dx>0$ . En déduire que si f est une fonction continue positive sur [a,b] telle que $\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right)} dx=0$ alors f est identiquement nulle.
2. On suppose que f est continue sur [a,b], et que $\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx\quad =\quad 0$ . Montrer qu’il existe c $\in [a,b]$ tel que f(c) = 0.
3. Application : on suppose que f est une fonction continue sur [0,1],telle que $\int _{ 0 }^{ 1 }{ f(t) } dt\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 }$ . Montrer qu’il existe d ∈ [0,1] tel que f(d) = d.
Exercice 6
Soit f: [a,b] $\rightarrow$ ℝ continue, positive; on pose $m=sup\{ f(x),x\in [a,b]\}$ . Montrer que

Exercice 7
Soit: f:[0,1] $\rightarrow$ ℝ une application strictement croissante telle que f(0) = 0, f(1) = 1.Calculer:

2 Calculs de primitives
Exercice 8
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
a) $\int { arctan.xdx }$ b) $\int { { tan }^{ 2 } } xdx$

Aperçu :

Afficher ce document sur Scribd

Téléchargement :

Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Thèmes :

Extrait :

Exercices Analyse – Calculs d’intégrales + Correction | Aire – Application croissante

Aperçu :

Téléchargement :

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

Partager :

Sur le même thème

Laisser un commentaire X