Analyse • Exercices

Exercices Analyse – Continuité + Correction | Domaine de définition – Fonction bornée

2 Commentaires
par Erwin BORD

Thèmes :

Partie 1 – ( 3 exercices ): Graphique / Fonction continue / Fonction réciproque / Prolongement par continuité
Partie 2 – ( 3 exercices ): Limites / Fonction / Fonction continue / Fonction bornée
Partie 3 – ( 3 exercices ): Domaines de définition / Fonction constante / Fonction croissante / Point fixe

Extrait :

Exercices Analyse – Continuité + Correction | Domaine de définition – Fonction bornée

1 Pratique
Exercice 1
Soit f la fonction réelle à valeurs réelles définie par
$latex f(x)=\{ \begin{matrix} x \\ { x }^{ 2 } \\ 8\sqrt { x } \end{matrix}\begin{matrix} si\quad x\quad <\quad 1 \\ si\quad 1\quad \le x\le 4 \\ si\quad x\quad >\quad 4 \end{matrix}$
1. Tracer le graphe de f .
2. f est elle continue ?
3. Donner la formule définissant { f }^{ -1 }.
Indication H
Exercice 2
Soit f : ℝ telle que f(x)=\frac { 2x+3 }{ 3x-1 } .
Pour tout déterminer \delta tel que.
Que peut-on en conclure ?
Indication H
Exercice 3
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur ℝ?
a) f(x)=sinx.sin\frac { 1 }{ x }; b) g(x)=\frac { 1 }{ x } ln\frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }{ 2 };
c) h(x)=\frac { 1 }{ 1-x } -\frac { 2 }{ 1-{ x }^{ 2 } }
Indication H
2 Théorie
Exercice 4
Soient I un intervalle de ℝ et f : I\longrightarrow ℝ continue, telle que pour chaque x ∈ I, f(x{ ) }^{ 2 } = 1. Montrer que f = 1 ou
f = -1.
Indication H
Exercice 5
Soit I un intervalle ouvert de ℝ, f et g deux fonctions définies sur I.
1. Soit a ∈ I. Donner une raison pour laquelle :
({ lim }_{ x\longrightarrow a }f(x)=f(a))=>({ lim }_{ x\longrightarrow a }|f(x)|=|f(a)|)
2. On suppose que f et g sont continues sur I. En utilisant l’implication démontrée ci-dessus, la relation
sup( f,g)= \frac { 1 }{ 2 } (f+g+|f-g|), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction sup( f,g)
est continue sur I.
Indication H
Exercice 6
Soit f : ℝ continue admettant une limite finie en +\infty. Montrer que f est bornée. Atteint-elle ses bornes ?
Indication H
3 Etude de fonctions
Exercice 7
Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes
f(x)=\sqrt { \frac { 2+3x }{ 5-2x } } ; g(x) = f(x)=\sqrt { { x }^{ 2 }-2x-5 }; h(x)=ln(4x+3)

Exercice 8
Soit f : ℝ continue en 0 telle que pour chaque x ∈ ℝ, f(x) = f(2x). Montrer que f est constante.
Indication H
Exercice 9
Soit f : [0,1] \longrightarrow[0,1] croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudier

Indication H
Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

Indication pour l’exercice 1 N
Ditinguer trois intervalles pour la formule définissant { f }^{ -1 }.
Indication pour l’exercice 2 N
Le “e” vous est donné, il ne faut …

Aperçu :

Téléchargement :

feuille
 Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

J'accepte de recevoir des informations par email

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Sur le même thème

Laisser un commentaire