Vidéo – Exercice + Correction Analyse – Propriétés de R

Thèmes :

Partie entière, suite, densité.
Bonus (à 8’01”) : partie entière.

Transcription de la vidéo :

Dans cet exercice, nous allons considérer la partie entière d’un réel x, pour montrer que q est dans R. La partie entière d’un réel x est le plus grand entier inférieur ou égal à x. C’est une phrase en français, qui se traduit mathématiquement par une double inégalité : la partie entière est bien un entier plus petit ou égal à x et le fait que ce soit le plus grand se traduit par une inégalité stricte : x est inférieur au sens strict à la partie entière de x+1. Il faut pas oublier que la partie entière de x est un entier relatif.
Appliquons ceci à l’étude d’une suite Un définie de la façon suivante : partie entière de x + partie entière de 2x + partie entière de 3x etc + partie entière de nx, le tout divisé par n². Je peux réécrire ça avec une somme formelle, le numérateur s’écrivant la somme de k =1 + jusqu’à n de partie entière de kx et le dénominateur on divise par n². Alors nous allons appliquer l’encadrement qui provient de la définition de la partie entière au réel kx. Nous savons que kx est compris entre la partie entière kx et la partie entière kx+1 au sens strict. Nous allons en déduire un encadrement de la partie entière de kx. Elle est plus petite que kx. Et l’autre inégalité nous donne que la partie entière de kx est plus grande au sens stricte que kx-1. Nous avons maintenant une succession d’inégalités qui sont vraies pour k=1, k=2, etc jusqu’à k=n. Donc on peut sommer toutes ces inégalités pour obtenir : la somme de k=1 jusqu’à n de partie entière de kx est plus petite que la somme de k=1 jusqu’à n de kx qui est lui-même plus petite au sens strict que la somme de k=x-1. Alors ceci est en fait le numérateur de notre expression, donc c’est bien n²*Un, on peut le majorer par la somme des kx, mais x est un facteur commun à tous les termes, donc on peut factoriser par x, donc ça s’écrit x * la somme de k=1 jusqu’à n des entiers k. Et de l’autre côté on peut faire à peu près la même chose pour obtenir la chose suivante : x facteur de la somme de k=1 jusqu’à n de tous les entiers k, et on a le terme -1 qui se terme n fois, donc –n.
Nous allons pouvoir en déduire la limite de Un, donc je vous rappelle l’encadrement qu’on a obtenu de n²Un qui est compris entre x fois la somme des k premiers entiers et x fois la somme des k premiers entiers –n. Mais la somme des k premiers entiers c’est 1+2+3 jusqu’à n, on connaît la formule, c’est n(n+1)/2. Donc on obtient ici un encadrement qui s’écrit de façon plus simple, et ici à peu près la même chose en retranchant n. Nous allons diviser par n² pour obtenir un encadrement de Un, j’ai divisé par n², et l’autre côté on obtient à peu près le même terme, cette fois ci en retranchant -1/n.
On va considérer les limites du majorant et du minorant, n+1/2n quand n tend vers l’infini, ça tend vers 1/2, donc ce terme-là tend vers x/2. Ici on aussi le membre de gauche qui tend vers x/2, le membre de droite qui tend vers 0, donc on a aussi comme limite x/2, et par le théorème des gendarmes, Un va tendre vers x/2.
Donc on a démontré que la suite Un converge, et on a trouvé la limite qui est x/2.
Nous allons pouvoir que Q est dense dans R. Alors pour cela on se fixe un réel x quelconque et on construit une suite Un, ici on va considérer la suite Vn qui est égale à deux fois Un, c’est 2 fois partie entière de x + etc jusqu’à partie entière de nx le tout sur n². On a vu que Vn tend vers x car Vn tend vers x/2. Mais Vn sont des nombres rationnels, car le numérateur est une somme d’entier, c’est donc un entier, et le dénominateur c’est n² c’est donc un entier aussi. Donc les Vn sont des rationnels. Si on se donne I n’importe quelle intervalle de R contenant x, on sait que à partir d’un certain rang, comme Vn tend vers x, pour N assez grand, on va avoir que Vn est proche de x, c’est-à-dire qu’on peut trouver V grand N qui appartient à I. Cela revient à dire que Q est dense dans R. On a trouvé un rationnel qui est dans un intervalle aussi petit qu’on veut, et donc Q est dense dans R.
Nous allons expliciter quelques propriétés de la partie entière. L’existence de la partie entière n’est pas du tout évidente. Ca découle d’une propriété fondamentale, c’est que R est archimédien. R archimédien signifie que quelque soit le réel x appartenant à R, on peut trouver un entier naturel qui est strictement plus grand que x. C’est une propriété qui peut sembler évidente, qui étant donné un réel on peut toujours trouver un entier au-dessus, mais c’est quand même un propriété fondamentale qui découle de la construction de R. Quelques exemples : si on connaît l’écriture décimale d’un réel, il est assez facile de trouver sa partie entière. Par exemple si on prend le chiffre 3,14 15 etc, sa partie entière c’est juste le nombre à gauche de la virgule, ici c’est 3. Il faut se méfier pour les nombres négatifs, la patrie entière c’est le plus grand entier inférieur ou égal à x, ici pour x=-3.5, le plus grand entier qui est inférieur ou égal à -3.5, c’est -4.
On peut aussi considérer la partie entière comme une fonction, la fonction qui à x associe partie entière de x, ça nous donne une fonction qui à un réel associe un autre nombre réel. Le graphe de cette fonction : si x est compris au sens large entre 0 et au sens strict entre 1, la partie entière est nulle. Si x est compris entre 1 et 2, la partie entière vaut 1. Si x est compris entre 2 et 3, la partie entière vaut 2 etc, on construit comme ça un escalier infini vers la droite. De la même façon, si x négatif compris entre 0 et -1 la partie entière est -1, et on construit comme ça un escalier infini vers la gauche.
Pour finir, une fois qu’on a construit la partie entière, on peut aussi construire la partie fractionnaire. Par définition, la partie fractionnaire d’un réel x c’est x – la partie entière de x. Par exemple, la partie fractionnaire du réel 3,14, c’et 3,14- la partie entière -3, c’est donc 0,14. En exercice, je vous demande de tracer le graphe de la fonction qui à x associe partie fractionnaire de x.