Examen Analyse | Formule d’Euler – Etude de fonction

Thèmes :

Exercice 1: Résolution d’une équation dans le corps des complexes.
Exercice 2: Étude de fonction.
Exercice 3: Problème / Formules d’Euler
Exercice 4: Étude de fonction hyperbolique.

Extrait :

Exercice 1 : 5 pts
1. Résoudre dans ℝ l’équation sachant que l’une des solutions est réelle.
2. Montrer que les solutions sont affixes des sommets d’un triangle rectangle isocèle.
Exercice 2 : 5 pts
1. On considère la fonction . Déterminer son ensemble de définition puis établir son tableau de variations. Préciser les extrema de g sur son ensemble de définition.
2. Déduire du 1. l’ensemble de définition de
3. Déterminer l’ensemble des points où f est dérivable. En ces points, montrer que

4. Calculer
Exercice 3 : 5 pts
1. Rappeler les formules d’Euler.
2. Soit α et βdeux nombres réels et et . Mettre le nombre complexe z = a + b sous forme trigonométrique.
Indication : on pourra poser et
3. Ecrire en fonction de . Puis simplifier et a
Exercice 4 : 5 pts
Pour a ∈ ℝ soit, la fonction définie par
1. Quel est le domaine de définition de la fonction ?
1
2. Montrer que est dérivable sur et que : ∀x∈ ,
3. Déterminer et
4. Déduire des résultats précédents, une expression plus simple de a f sur
(distinguer suivant les intervalles).

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