Thèmes :
Exercice 1: Théorème des valeurs intermédiaires / Dérivabilité
Exercice 2: Règle de l’Hospital / Continuité / Limites
Exercice 3: Étude de Fonction
Exercice 4: Sous espace vectoriel / Base / Théorème de la base incomplète
Exercice 5: Calcul intégral / Primitive / Dérivabilité
Extrait :
Exercice 1 Cours
1. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaire.
2. A l’aide d’une intégration par parties. Calculer
Exercice 2 Un calcul d’intégrale
1. Pour x ?
2. Démontrer que pour tout t réel dans
1 = 1 ÷ tan² t = 2
3. En déduire que pour tout réel
x = tan x = 2x
Exercice 3 Etudes de fonctions
1. (a) On considère la fonction f définie par
Etudier les variations de f’
Montrer qu’il existe un unique réel a dans l’intervalle ]-1,0[ tel que f
f'(a) = 0.
En déduire les variations de f.
(b) On considère la fonction g définie par
Montrer que
Montrer qu’il existe un unique b dans l’intervalle ]— 1. 0[ tel que g′(b) = O.
Etudier les variations de g.
En déduire qu’il existe un unique c dans l’intervalle ]-1,0[ tel que g(c) = 0
(a) Montrer que pour tout t > 1, on a
(on pourra étudier la fonction
(b) On Considère la fonction h, définie par
Montrer que h est continue en 1.
Calculer h(t)
(on pourra montrer que sur [1,+∞[
en étudiant les variations de i.
Exercice 4 Algèbre linéaire
On considère l’espace vectoriel réel E = ℝ³ on note B = {e₁, e₂, e₃} la base
canomque.
1. On considère les vecteurs
f₁ = e₁ – e₃, f₂ = e₂ – e₃, f₃ = e₁ – e₂ ÷ e₃
Montrer que la famille {f₁. f₂. f₃} forme une base de E.
Déterminer {f₃}
On considère l’endomorphisme u ℝ³ définit par
u(x,y,z)=(3x-2y-z-4x+y-3zx+y-2z)
Calculer u(e₁), u(e₂), u(e₃),
En déduire que la matrice de a dans la base B est
3. (a) Déterminer une base de Im u puis donner le rang …