Examen Analyse | Dérivée – Développement limité

Thèmes :

Exercice 1: Système linéaire / Système régulier / Système homogène
Exercice 2: Développement limité / Voisinage
Exercice 3: Étude de fonction / Domaine de définition / Limites / Dérivée / Point d’inflexion
Exercice 4: Équation différentielle
Exercice 5: Différentielle
Exercice 6: Intégrale

Extrait :

I. Systèmes linéaires (~ 12 points)
Soit le système linéaire complexe suivant (avec )

I.1 Ecrire ce système sous forme matricielle de la forme MX=B. Quelles sont les
expressions de X et B ?
I.2 Le système est-il régulier, homogène ? Justifier.
I.3 Discuter l’existence ou non de solution(s). Le cas échéant, calculer la (ou les)
solution(s) du système.
II. Développement limité (~ 10 points)
Soit une fonction f définie pour x réel :

II.1 Rappeler le développement limité (DL) d’une fonction h(x) à l’ordre n au
voisinage de .
II.2 Donner le DL de la fonction
!
au voisinage de à l’ordre 2.
II.3 Calculer le DL de la fonction
!
f (x) au voisinage de xo=0 aussi à l’ordre 2.
III. Etude de fonction (~ 18 points)
On se propose d’étudier la fonction :

On résoudra les étapes suivantes :
III.1 Domaine de définition de
!
f
III.2 Limites de f aux bornes de son intervalle de définition
III.3 Dérivée première
III.4 Extrema de
!
f
III.5 Dérivée seconde

III.6 Points d’inflexion de
f
III.7 Tableau de variations
III.8 Graphe de
f
(AN : On donne comme valeurs numériques approchées, e≈2.7, ≈12, 1≈0.37 et ≈0.137)
IV. Equation différentielle (~ 6 points)
On observe l’évolution de la densité N d’un système complexe de molécules
données par l’équation différentielle suivante :

IV.1 Résoudre cette équation différentielle.
IV.2 Trouver la valeur des constantes obtenues à la question précédente,
sachant que
V. Différentielle (~ 10 points)
V.1 Les formes différentielles suivantes, sont-elles des différentielles totales ?
(avec K réel)

V.2 Le cas échéant, calculer l’expression de la fonction
f(x,y) dont la forme
différentielle dérive.
VI. Intégrale (~ 4 points)
Calculer l’intégrale suivante :
(AN : on prendra comme valeurs numériques
approchées, e≈3)