Video – Exercice + Correction Algèbre – Logique / Ensembles / Raisonnements – Niveau L1

Thèmes :

Phrase logique / “Pour tout” / “Il existe”/ Négation /Ensemble / Proposition / Langage Mathématiques

Bonus (à 1’52”) : négation, “ou”, “et”.

Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur.

Transcription de la vidéo :

On a une phrase en français, et on cherche à donner sa négation. C’est pas forcément un exercice facile, juste en lisant la phrase en français. La première chose peut être à faire c’est de traduire cette phrase en langage mathématiques. Donc on va être un peu succins mais tout habitant (on va appeler petit h les habitants) sont dans la rue du Havre (on va appeler grand H les habitants de la rue du Havre) et on cherche aussi ceux qui ont les yeux bleus, on va appeler Y l’ensemble des habitants qui ont les yeux bleus. Donc H inter Y c’est les habitants de la rue du Havre qui ont aussi les yeux bleus. Qu’est ce qu’il se passe pour ses habitants? Ben d’une part, ils vont gagner au loto, et ils vont prendre leur retraite à 50 ans. Donc on appelle G l’ensemble des gagnants et h les gens qui prennent leur retraite avant 50 ans. Donc on a plus ou moins formaliser cette phrase logique, et maintenant il devient très logique de donner sa négation. En mathématiques, c’est algorithmique. On remplace “pour tout” par “il existe“. La négation d’un “et” c’est un “ou”. Donc être gagnant du loto et prendre sa retraite, c’est h n’appartient pas à G ou h n’appartient pas à R. Et maintenant il n’y plus qu’à lire la phrase mathématiques en français. Il existe un habitant de la rue du Havre et qui a les yeux bleus, qui ne gagnera pas au loto ou qui ne prendra pas sa retraite avant 50 ans.

BONUS:

Donc on a vu que le langage mathématiques peut être utile pour exprimer des choses rigoureusement. Il y a quand même une ambiguïté en français quand on dit “avant 50 ans”, qui est levée par les mathématiques. Est ce que ça c’est avant strictement ou avant au sens inférieur ou égal? Donc les mathématiques permettent de faire cette distinction. Autre chose qu’on a utilisé: quand on a deux propositions P et Q, on peut définir une nouvelle proposition qui est la proposition “P et Q”. On a eu besoin de la négation, et la négation de “non P et Q”, c’est non P ou non Q. De même, si on a “P ou Q”, sa négation logique c’est non P et non Q. Et au passage, une remarque un peu évidente, la négation de la négation, c’est la proposition elle-même.