Video – Exercice + Correction Algèbre – Logique / Ensembles / Raisonnements – Niveau L1

Thèmes :

Logique / Implication / Equivalence / Exponentielle / Réciproque / Nombre complexe / Cercle trigonométrique
Bonus (à 1’43’) : Syllogisme / Aristote / Ionesco.

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur.

Transcription de la vidéo :

Dans cet exercice il faut compléter les expressions par le symbole approprié.
Alors pour la première expression on sait bien que si x = 2 alors x²= 4, par contre est ce qu’on peut mettre la flèche dans l’autre sens ? La réponse est non: si x² = 4 ça veut pas dire que x=2 donc là il faut donner un contre exemple si on prend x = -2 on sait bien que x carré = 4 mais x n’est pas égal à 2 donc l’implication directe est fausse.

2ème expression: on part de z = z barre alors en écrivant z sous la forme x+iy il est assez facile de voir que z est un nombre réel donc on a bien cette implication directe. Mais réciproquement si on part d’un nombre réel alors il est égal à son conjugé donc on a le sens réciproque. Donc ici en fait on a bien une équivalence.

Pour la 3ème expression on sait que si x = pi alors à ce moment là exponentielle 2x ca fait exponentielle 2 i pi ça fait bien 1 donc on a bien ce sens là. Par contre la réciproque est fausse: on peut avoir exp 2ix = 1 mais avec x différent de pi donc là il faut encore donner un contre exemple. Pour x = 0 on a bien exponentielle 2i0 = 1 et bien sûr 0 n’est pas égal à pi.

Donc l’implication remplace le donc français donc je voudrais juste citer une citation d’Aristote sur les syllogismes : “Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme donc Socrate est mortel.” Donc c’est quelque chose de bien connu. Et y a aussi une citation amusante de Ionesco, qui parodie ça: “Tous les chats sont mortels, Socrate est mortel donc Socrate est un chat.”