Video – Exercice + Correction Algèbre – Logique / Ensembles / Raisonnements – Niveau L1

Thèmes :

Phrase logique, “pour tout”, “il existe”, négation.
Bonus (à 3’11”) : nombre réel positif plus petit que tout epsilon.

Transcription de la vidéo :

Dans cet exercice on considère deux ensembles qui sont F1 et F2 qui sont des sous ensembles de R2 et qui sont définis par les relations suivantes: F1 c’est l’ensemble rouge et F2 c’est l’ensemble bleu. On nous demande d’évaluer certaines propositions.
La première proposition: est ce que pour chaque epsilon on peut trouver un point M1 de F1 et un point M2 de F2 tels que la distance entre M1 et M2 soit plus petite que epsilon ?

Alors la réponse est oui, si on fixe epsilon positif, on peut trouver un point M1 et un point M2 qui sont suffisament proches et donc d’une distance plus petite que epsilon. Et ceci pour epsilon aussi petit qu’on veut. Donc cette proposition est vraie.

La deuxième proposition: est ce qu’on peut trouver un point M1 et un point M2 tels que pour chaque epsilon la distance entre M1 et M2 est plus petite qu’epsilon ?
Alors si on pouvait trouver un point M1 et un point M2 pour un epsilon fixé la distance va marcher mais pour epsilon aussi petit qu’on ceut ça va pas etre epossible. Donc en fait cette proposition est fausse et si on veut le justifier cela revient à dire que F1 inter F2
est vide donc cette propositon ne peut pas être vraie. La négation pour tout M1 appartenant à F1, pour tout M2 appartenant à F2, il existe un epsilon appartenant à ]0;+oo[ et que M1M2 est plus grand que epsilon. Maintenant il est beaucoup plus facile de montrer que cette négation est vraie, il suffit juste de dire que quand on prend deux points il existe une distance entre ces deux points. Donc la négation est vraie, cette proposition là est fausse.

La troisième proposition: Est ce qu’il existe un epsilon tel que pour chaque M1 et pour chaque M2, M1M2 est plus petit que epsilon ? Alors il faut voir qu’ici le problème vient quand epsilon est grand. En fait comme ces ensembles sont non bornés, on peut trouver ici un point M1 où on veut, par contre le point M2 si on le prend très très loin, la distance va être aussi grande qu’on veut. Donc cette proposition est fausse.

Dernière proposition: Est ce que pour chaque M1 et pour chaque M2 on peut trouver epsilon tel que M1M2 soit plus petit que epsilon ? Alors cette proposition là est vraie, cela veut juste dire que la distance entre deux points est finie, et le epsilon il suffit de le prendre par exemple la distance et on rajoute 1. Et le epsilon convient.

Pour plus de détails et pour les corrections complètes je vous renvoie à la correction écrite.

BONUS:

On termine avec une question simple, mais dont la réponse n’est pas si évidente que ça. On prend un nombre réel positif ou nul, et on suppose que pour chaque epsilon, a est plus petit que cet epsilon. La question c’est: est ce que a = 0 ?

Alors je vous laisse réfléchir quelques secondes, mais c’est en fait une question qui a perturbé beaucoup de mathématiciens. Par exemple Leibniz et Euler avaient du mal avec ce concept. Il a fallu attendre un formalisme et la construction de R le formalisme du calcul infinitisimal par Cauchy, Weierstrass et Dedekin pour avoir la réponse à cette question.

Alors en fait la réponse est oui, a = 0. Et avec notre langage mathématiques moderne la preuve est en fait à peu près immédiate. On
va faire une preuve par l’absurde. Par l’absurde, on suppose que a est non nul. Comme c’est un réel positif ou nul, cela veut dire qu’il est strictement positif. Maintenant on suppose que pour tout epsilon on a a inférieur ou égal à epsilon. Donc comme c’est vrai pour tout epsilon, c’est aussi vrai pour epsilon = a/2. Et pour epsilon = a/2 qu’est ce qu’on a ? On a donc que a qui est inférieur à a/2 puisque ça c’est epsilon. Mais cette inégalité est pas possible, un nombre positif peut pas être plus petit que sa moitié. Donc on a une contradiction, ça contredit notre hypothèse de départ. Donc a ne peut pas être non nul.
Donc le bilan c’est que a = 0.