Video – Exercice + Correction Algèbre – Logique / Ensembles / Raisonnements – Niveau L1

Thèmes :

Phrase logique / Quantificateur / “Pour tout” / “Il existe” / Fonction /Majorant / Minorant / Fonction périodique / Parité
Bonus (à 5’55”) : ordre des quantificateurs “Pour tout” /  “Il existe”.

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Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur.

Transcription de la vidéo:

Nous avons donc deux phrases à notre disposition. Il s’agit de les transcrire en langage mathématique. La première phrase est une fonction f qui est majorée, alors une fonction f qui est majorée, cela signifie qu’elle reste tout le temps plus petite qu’une une certaine valeur m, donc il existe une valeur M qui va être commune à tous les points tel quelque soit le point x appartenant à R, f(x) est plus petite que cette valeur il est importante soit qu’il est existe une valeur qui marche pour tous les points.

Une fonction est bornée s’il existe un majorant et un minorant, donc cela s’écrit à peu près pareil, il existe un majorant M appartenant à R, il existe un minorant petit m appartement à R tel que pour chaque x appartenant à R f(x) est à la fois plus petit que grand M et plus grand que petite m.

Une fonction paire, je dessine ici le graphe d’une fonction paire, un exemple de graphe de fonction paire, ça veut dire que si on prend la valeur, une valeur x ici c’est une certaine valeur et si on regarde la valeur en (-x) ça doit être la même valeur donc en langage mathématique cela s’écrit tout simplement que pour chaque x appartenant à R la valeur prise en f(-x) est égale à la valeur prise en f(x),vous vous doutez bien qu’une fonction impaire c’est presque pareil sauf que pour chaque x appartenant à R, on a f(-x) qui vaut -f(x).

Maintenant qu’est ce qu’une fonction qui ne s’annule jamais. Voici un graphe d’une fonction qui ne s’annule jamais, ça veut dire que les valeurs prises sont toujours différentes de zéro donc pour toutes x appartenant à R, f(x)est non nulle. Attention ça ne veut pas dire qu’elle reste tout le temps positive ou tout le temps négatives. Par exemple si la fonction n’est pas continue on peut avoir des valeurs positives et des valeurs négatives.

Qu’est ce que c’est qu’une fonction périodique, une fonction périodique c’est quand on a une valeur x et qu’on regarde à la valeur en x+a, les valeurs prises en x et en x+a sont les mêmes et a s’apelle la période donc comment écrire ça ? Ca veut dire que pour tout x appartenant à R, f la valeur prise en (x+a) est la même que f(x). Ca, ça ce serait une fonction a-périodique, dire qu’une fonction est a-périodique c’est dire qu’il existe un tel nombre, une telle période, un nombre réel, faut juste faire attention que ce nombre réel doit être non nul. Donc une fonction est périodique s’il existe un réel a qui va correspondre à la période tel que pour chaque x appartenant à R f(x+a)=f(x). On peut prendre une autre valeur x’ et on regarde ce que ça donne, f(x’+a) ça donne bien la même chose.

Une phrase un peu plus délicate à formaliser est f est croissante alors on voit bien ce que c’est que f est croissante sur le graphe comment l’écrire en une phrase logique. Si on prend 2 valeurs x et x’ tel que x est plus petit que x’ alors on va comparer les valeurs de f(x) et de f(x’) et pour qu’elle soit croissante c’est exactement dire que comme x est plus petit que x’ il faut que f(x) soit plus petit que f(x’). Alors ça s’écrit de la façon suivante: pour tout x, x’ 2 valeurs si x est plus petit que x’ alors f(x) est plus petit que f(x’). On pourrait, définir de la même façon strictement décroissante, c’est très similaire c’est pour tout x,x’ appartenant à R si x est plus petit que x’ alors il faut que f(x) soit strictement plus grand que f(x’).

Alors il faut se méfier içi on n’a pas le droit de parler de dérivée, à priori on ne sait même pas si cette fonction est dérivable donc on ne peut pas dire f est croissance si et seulement si sa dérivée est positive, il faut bien faire attention, il faut retenir que ceci c’est la définition d’une fonction croissante.

Terminons par écrire ce que c’est que f n’est pas la fonction nulle. Alors en fait être la fonction nulle ça veut dire que f(x) pour tout x, donc ne pas être la fonction nulle c’est dire qu’il existe un réel tel que f(x) est différent de zéro. Il faut surtout pas confondre ça avec une phrase qu’on a vu avant qui est f ne s’annulle jamais qui elle s’écrivait pour tout x appartenant à R, f(x) est différent de zéro. Une fonction qui n’est pas la fonction nulle et une fonction qui ne s’annule jamais ce sont deux choses très différentes.

Alors une remarque important sur les quantificateurs et surtout pour leurs ordres. Si on a la phrase: pour tout x et pour tout y on a une certaines proposition P(x,y) c’est en fait une phrase équivalente à: pour tout y, pour tout x ont a la proposition y. Ceci sont 2 phrases équivalentes. Même chose avec les quantificateurs il existe. Il existe x, il existe y tel que la proposition P(x,y) est vrai ou alors la proposition il existe y, il existe x sont des propositions équivalentes. Par contre là où il faut faire très attention c’est quand on a 2 quantificateurs à un pour tout et à un il existe, alors là à priori on ne peut pas les échanger. La phrase pour tout x il existe y tel que P(x,y) n’est pas équivalente à la phrase il existe y tel que pour tout x, P(x,y) . Attention ici donc l’ordre l’ordre des quantificateurs ont une importance.

On peut le voir sur un exemple. Pour une fonction f de R dans R comme tout à l’heure. Par exemple cette phrase là est toujours vrai. Pour chaque x réel on peut trouver un autre réel m qui est plus grand que f(x), il suffit de prendre m=f(x)+1. Ce qui est important de voir c’est que le m ici en fait il dépend du x on pourrait mettre m indice petit x, vous voyez celui qu’on a pris le temps il dépend de x et de f(x). Par contre qu’est ce qui se passe si on écrit les quantificateurs dans l’autre sens. Il existe un réel grand m appartement à R tel que pour tout x appartenant à R, f(x) c’est plus grand ou plus petit que grand . Cette phrase là, on l’a vu tout à l’heure c’est vrai pour les fonctions bornées, ceci c’est exactement dire que f est une fonction bornée donc ceci est vrai pour toutes les fonctions ceci est vrai pour les fonctions bornées uniquement, donc on vois bien que là où il faut absolument pas intervertir les quantificateurs “il existe” et “pour tout“.

Alors on peut le retenir par une phrase de la vie courante, par exemple pour tout étudiant il existe un numéro téléphone portable, tout étudiant à son numéro de téléphone. Par contre on ne peut pas dire qu’il existe un numéro de téléphone pour tous les étudiants, en langage mathématique cette phrase là signifie qu’il existe un numéro téléphone commun à tous les étudiants, ce qui n’a pas de sens.