Exercices – Algèbre + Correction – Relation d’équivalence / Relation d’ordre | Réflexive – Relation binaire

Thèmes :

Partie 1 – ( 3 exercices ): Relation d’équivalence / Relation binaire / Symétrique / Transitive / Réflexive
Partie 2 – ( 1 exercices ): Relation d’ordre

Extrait :

Relation d’´equivalence, relation d’ordre
1 Relation d’´equivalence
Exercice 1. Dans ℂ on d´efinit la relation ℜ par :
1. Montrer que ℜ est une relation d’´equivalence.
2. D´eterminer la classe d’´equivalence de z ∈ C.
Exercice 2. Soit ℜ une relation binaire sur un ensemble E, sym´etrique et
transitive. Que penser du raisonnement suivant ?
car ℜ est sym´etrique,
or car ℜ est transitive,
donc ℜ est r´eflexive.”
Exercice 3. Montrer que la relation ℜ d´efinie sur ℝ par :
est une relation d’´equivalence. Pr´eciser, pour x fix´e dans ℝ, le nombre d’´el´ements
de la classe de x modulo ℜ.
2 Relation d’ordre
Exercice 4. Soit (E, ) un ensemble ordonn´e. On d´efinit sur la
relation ℜ par XℜY ssi (X = Y ou ∀x ∈ X ∀y ∈ Y x y). V´erifier que
c’est une relation d’ordre.
1
Indications 1. Un dessin permettra d’avoir une bonne id´ee de ce qui se
passe…
Indications 2. Il faut trouver l’erreur dans ce raisonnement, car bien sˆur
s’il y a trois axiomes pour la d´efinition d’une relation d’´equivalence, c’est que
deux ne suffisent pas !
Indications 3. 1. Pour la transitivit´e on pourra calculer xy .
2. Poser la fonction
et , apr`es une ´etude de fonction on calculera le
nombre d’ant´ec´edents possibles.
2
Correction 1. 1. Soit des complexes quelconques.
• Reflexivit´e : zℜz car |z| = |z|.
• Sym´etrie : car |z| = | | et donc | | = |z|.
• Transitivit´e : zℜ et ℜ alors |z| = | | = | | donc zℜ .
En fait, nous avons juste retranscrit que l’´egalit´e = est une relation
d’´equivalence.
2. La classe d’´equivalence d’un point z ∈ C est l’ensemble des complexes
qui sont en relation avec z, i.e. l’ensemble des complexes dont le module
est ´egal `a |z|. G´eom´etriquement la classe d’´equivalence de z est le cerlce
C de centre 0 et de rayon |z|.
Correction 2. Le raisonnement est faux.
L’erreur est due au manque de quantification. En effet, rien ne prouve que
pout tout x un tel y existe. Il peut exister un ´el´ement x qui …

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