Exercices Algèbre + Correction - Polynômes | Bezout - Division euclidienne

Thèmes :

16 exercices : Division euclidienne / Puissances croissantes / Relation de Bezout / Puissances décroissantes / PGCD / Ordre de multiplicité / Racine multiple / Facteurs d’irréductibles / Factorisation

Extrait :

Exercices Algèbre + Correction – Polynômes | Bezout – Division euclidienne

Exercice 1. Effectuer les divisions euclidiennes de
$3{ X }^{ 5 }+4{ X }^{ 2 }+1$ par ${ X }^{ 2 }+4{ 2X }+3$ ,
${ 3X }^{ 5 }+{ 2{ X }^{ 4 } }-{ X }^{ 2 }+1$ par ${ X }^{ 3 }+{ { X } }+2$ ,
${ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }+X-2$ par ${ X }^{ 2 }-2{ X }+4$
Exercice 2. Effectuer la division selon les puissances croissantes de :
${ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }-2X+1$ par ${ X }^{ 2 }+{ X }+1$ `a l’ordre 2.
Exercice 3. Trouver les polynˆomes P tels que P+1 soit divisible par $(X-1{ ) }^{ 4 }$
et P − 1 par $(X-1{ ) }^{ 4 }$
1. en utilisant la relation de B´ezout,
2. en consid´erant le polynˆome d´eriv´e ${P}^{'}$ .
Combien y a-t-il de solutions de degr´e $\le$ 7 ?
Exercice 4. Effectuer la division de $A={ X }^{ 6 }-2{ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }+1$ par $B={ X }^{ 3 }-2{ X }^{ 2 }+1$
1. Suivant les puissances d´ecroissantes.
2. `A l’ordre 4 (c’est-`a-dire tel que le reste soit divisible par ${X}^{4}$ ) suivant
les puissances croissantes.
Exercice 5. Effectuer la division euclidienne de ${ X }^{ 5 }-7{ X }^{ 4 }-{ X }^{ 2 }-9X+9$
par ${ X }^{ 2 }-5X+4$
Exercice 6. Quels sont les polynˆomes P ∈ C[X] tels que ${P}^{'}$ divise P ?
Exercice 7. Calculer pgcd(P,Q) lorsque :
1. $P={ X }^{ 3 }-{ X }^{ 2 }-X-2$ et $Q={ X }^{ 5 }-2{ X }^{ 4 }+{ X }^{ 2 }-X-2$ ,
2. $P={ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }-2X+1$ et $Q={ X }^{ 3 }+X+1$
Exercice 8. D´eterminer le pgcd des polynˆomes suivants :
${ X }^{ 5 }+3{ X }^{ 4 }+{ X }^{ 3 }+3X+1$ et ${ X }^{ 4 }+2{ X }^{ 3 }+{ X }+2$ ,
${ X }^{ 4 }+2{ X }^{ 3 }+{ 3{ X }^{ 2 } }+4X-1$ , ${ X }^{ 3 }+{ X }^{ 2 }-{ { X } }-1$
${ { X }^{ 5 } }+{ 5X }^{ 4 }-{ { 9{ X }^{ 3 } } }+7{ X }^{ 2 }+5X+3$ et ${ { X }^{ 4 } }+{ 2X }^{ 3 }-{ { 2{ X }^{ 2 } } }+X+1$

Exercice 9. Calculer le pgcd D des polynˆomes A et B d´efinis ci-dessous.
Trouver des polynˆomes U et V tels que D = AU + BV .
1. $A={ X }^{ 5 }+3{ X }^{ 4 }+2{ X }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-3X-2$ et $B={ X }^{ 4 }+2{ X }^{ 3 }-2{ X }^{ 2 }-7X+6$
2. $A={ X }^{ 6 }-2{ X }^{ 5 }+2{ X }^{ 4 }-3{ X }^{ 3 }+3{ X }^{ 2 }-2X$ et $A=2{ X }^{ 4 }-2{ X }^{ 3 }+{ X }^{ 2 }-X+1$
Exercice 10. D´ecomposer dans ℝ[X], sans d´eterminer ses racines, le polyn
ˆome $P={ X }^{ 4 }+1$ , en produit de facteurs irr´eductibles.
Exercice 11. Pour n ∈ , quel est l’ordre de multiplicit´e de 2 comme racine
du polynˆome
$n{ X }^{ n+2 }-(4n+1){ X }^{ n+1 }+4(n+1){ X }^{ n }-4{ X }^{ n-1 }$
Exercice 12. Pour quelles valeurs de a le polynˆome $(X+1{ ) }^{ 7 }-{ X }^{ 7 }-a$
admet-il une racine multiple r´eelle ?
Exercice 13. Dans ℝ[X] et dans ℂ[X], d´ecomposer les polynˆomes suivants
en facteurs irr´eductibles.
1. ${ X }^{ 3 }-3$
2. ${ X }^{ 12 }-1$
Exercice 14. Factoriser dans ℝ[X] :
1. ${ X }^{ 6 }+1$
2. ${ X }^{ 9 }+{ X }^{ 6 }+{ X }^{ 3 }+1$ .
Exercice 15. Trouver un polynˆome P de degr´e $\le$ 2 tel que
P(1) = −2 et …

Aperçu:

Afficher ce document sur Scribd

Téléchargement :

Ce document provient du site exo7. Le projet Exo7 propose aux étudiants
des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de
niveau L1-L2-L3. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des
enseignants du supérieur.

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

privacy Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email.

Thèmes :

Extrait :

Exercices Algèbre + Correction – Polynômes | Bezout – Division euclidienne

Aperçu:

Téléchargement :

Recevez mes meilleurs conseils pour réussir vos études

Partager :

Sur le même thème

Laisser un commentaire X