Exercices Algèbre - Nombres complexes + Correction | affixe - Argument

Thèmes :

Partie 1 – ( 8 exercices ): Forme cartésienne / Forme polaire / Nombre complexe / Module / Argument / Conjugué / Forme trigonométrique
Partie 2 – ( 6 exercices ): Équation du second degré / Racines / Solutions
Partie 3 – ( 6 exercices ): Racine n-ième / Forme algébrique / Forme trigonométrique
Partie 4 – ( 6 exercices ): Géométrie / Triangle équilatéral / Pentagone régulier / Affixe / Cercle
Partie 5 – ( 2 exercices ): Trigonométrie
Partie 6 – ( 2 exercices ): Division euclidienne / Équation

Extrait :

Exercices Algèbre – Nombres complexes + Correction | affixe – Argument

1 Forme cart´esienne, forme polaire
Exercice 1. Mettre sous la forme a + ib (a, b ∈ R) les nombres :
$\frac { 3+6i }{ 3-4i }$ ;
$(\frac { 1+i }{ 2-i } { ) }^{ 2 }+\frac { 3+6i }{ 3-4i }$ ;
$\frac { 2+5i }{ 3-4i } +\frac { 2+5i }{ 1-i }$
Exercice 2. ´Ecrire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module 2 et d’argument $\pi \diagup 3$ .
2. Nombre de module 3 et d’argument − $\pi \diagup 8$ .
Exercice 3. Effectuer les calculs suivants :
1. (3 + 2i)(1 − 3i).
2. Produit du nombre complexe de module 2 et d’argument $\pi \diagup 3$ par le
nombre complexe de module 3 et d’argument – $5\pi \diagup 6$ .
3. $\frac { 3+2i }{ 1-3i }$ .
4. Quotient du nombre complexe de module 2 et d’argument $\pi \diagup 3$ par le
nombre complexe de module 3 et d’argument − $5\pi \diagup 6$ .
Exercice 4. ´Etablir les ´egalit´es suivantes :
1. $(cos(\pi /7)+isin(\pi /7))(\frac { 1-i\sqrt { 3 } }{ 2 } )(1+i)=\sqrt { 2 } (cos(5\pi /84)+isin(5\pi /84))$
2(cos(5/84) + i sin(5/84)),
2. $(1-i)(cos(\pi /5))(\sqrt { 3 } -1)=2\sqrt { 2 } (cos(13\pi /60)-isin(13\pi /60))$
2(cos(13/60)−i sin(13/60)),
3.
$\frac { \sqrt { 2 } (cos(\pi /12)+isin(\pi /12)) }{ 1+i } =\frac { \sqrt { 3 } -i }{ 2 }$
Exercice 5. Calculer le module et l’argument de $\frac { \sqrt { 2 } (cos(\pi /12)+isin(\pi /12)) }{ 1+i } =\frac { \sqrt { 3 } -i }{ 2 }$ et v = 1 − i.
En d´eduire le module et l’argument de $w=\frac { u }{ v }$
Exercice 6. D´eterminer le module et l’argument des nombres complexes :
et ${ e }^{ i\theta }+{ e }^{ 2i\theta }$
Exercice 7. Soit z un nombre complexe de module ρ, d’argument θ, et soit
z son conjugu´e. Calculer $(z+\bar { z } )({ z }^{ 2 }+{ \bar { z } }^{ 2 })...({ z }^{ n }+{ \bar { z } }^{ n })$ en fonction de ρ et θ.
Exercice 8. Mettre sous forme trigonom´etrique $1+{ e }^{ i\theta }$ o`u θ ∈ $]-\pi ,\pi [$ . Donner
une interpr´etation g´eom´etrique.
2 Racines carr´ees, ´equation du second degr´e
Exercice 9. Calculer les racines carr´ees de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24i.
Exercice 10. Trouver les racines carr´ees de 3 − 4i et de 24 − 10i.
Exercice 11. 1. Calculer les racines carr´ees de $\frac { 1+i }{ \sqrt { 2 } }$
. En d´eduire les valeurs
de $cos(\pi /8)$ et $sin(\pi /8)$ .
2. Calculer les valeurs de $cos(\pi /12)$ et $sin(\pi /12)$ .
Exercice 12. Montrer que les solutions de $a{ z }^{ 2 }+bz+c=0$ avec a, b, c r´eels,
sont r´eelles ou conjugu´ees.
Exercice 13. R´esoudre dans ℂ les ´equations suivantes :
$^{ 2 }+z+1=0$ ; ${ z }^{ 2 }-(1+2i)z+i-1=0$ ; ${ z }^{ 2 }-\sqrt { 3z } -i=0$ ;
${ z }^{ 2 }-(5-14i)z-2(5i+12)=0$ ; ${ z }^{ 2 }-(3-4i)z-1+5i=0$ ; ${ 4z }^{ 2 }-2z+1=0$ ;
${ z }^{ 4 }+10{ z }^{ 2 }+169=0$ ; ${ z }^{ 4 }+2{ z }^{ 2 }+4=0$ .
Exercice 14. R´esoudre dans ℂ les ´equations suivantes :
1. ${ z }^{ 4 }-(11-5i)z+24-27i=0$ .
2. ${ z }^{ 3 }+3z+2i=0$ .
3 Racine n-i`eme
Exercice 15. R´esoudre dans ℂ l’´equation ${ z }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 4 } (-1+i)$ et montrer qu’une
seule de ses solutions a une puissance quatri`eme r´eelle.
Exercice 16. Trouver les racines cubiques de 2 − 2i et de 11 + 2i.
Exercice 17. Calculer
$\frac { \frac { 1+i\sqrt { 3 } }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 2 } (1+i) }{ 2 } }$
alg´ebriquement, puis trigonom´etriquement.
En d´eduire $cos(\pi /12)$ , $sin(\pi /12)$ , $tan(\pi /12)$ , $tan(5\pi /12)$ . R´esoudre dans ℂ l’´equation ${ z }^{ 24 }=1$ .

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